이상 기체 법칙

이상 기체 법칙(理想氣體法則, Ideal gas law)은 이상 기체의 상태를 서술하기 위한 법칙이다.

$PV=Nk_{\rm B}T=nRT$로 나타내어지며, '이상기체 상태 방정식'으로 부른다.[1] 보일의 법칙, 샤를의 법칙, 아보가드로의 법칙 등을 집대성한 법칙이다. 어디까지나 이상 기체를 서술하는 법칙이니만큼 이상 기체가 아닌 실기체에 이 법칙을 적용하면 오차가 생기나, 일상적인 상황, 즉 $\rm1\,bar = 100\,000\,Pa$ 부근의 압력 또는 $\rm50\,\degree\!C$ 미만 정도의 온도에서는 사실상 그 오차를 무시할 수 있어서 기초적인 수준의 학부 실험에서 쓰이고 있다. 이 법칙의 등장과 함께 기체에 관한 연구는 큰 성장을 이룩하여 기체 분자 운동론 등 세기에 남을 이론이 만들어지게 되었다. 현대에는 비교적 간단한 반데르발스 식부터 현장에서 많이 쓰이는 펑-로빈슨(Peng-Robinson) 방정식까지 실제 기체의 상태를 좀 더 정확하게 서술하는 방정식[2]이 등장한 상태이다.

몇몇(혹은 대부분의) 학생들은 이 법칙을 그저 그런 법칙, 혹은 시험에 많이 출제되는 법칙(...) 정도로 생각하기도 한다. 그러나 이 법칙은 이상기체의 정적인 상태를 완전히 설명[3]한다는 점에서 그 의의가 상상 이상으로 크다. 생각해 보자. 다른 상(고체, 액체 등)들은 그 상태를 완전히 설명할 수 있는 법칙이 없다. 그러나 기체는? 비록 이상 기체라는 제약이 붙지만 $P$, $V$, $n$, $T$ 겨우 네 가지 변수만을 가진 이상 기체 법칙으로 그 상태를 완벽히 서술할 수 있다. 게다가 그 법칙이 실기체에도 꽤나 잘 들어맞는다! 이 법칙이 왜 시험에 그토록 많이 출제되었는지 그 이유를 생각해 보고, 물리학도나 화학도라면 한 번쯤 그 의미를 되새겨보는 것도 좋을 것이다.

고등학교 과학의 물화생지 모든 과목에서 조금씩이나마 건드리는 몇 안 되는 부분이다.[4] 물론 생명과학에서 직접적으로 쓰이진 않고 삼투압에서 이상용액이 이상기체와 같은 움직임을 보이기 때문에...

과학도들이 고등학교 시절부터 지겹게 보는 것과는 다르게, 그 역사가 기원전까지 내려가는 수학이나 수백 년 된 여타 물리학 법칙에 비해 대략 백오십 년이 조금 넘은 비교적 최신 학문이다. 현재도 많은 학자들이 투입되어, 실기체의 상태를 좀 더 정확하게 서술하려는 노력은 지금도 계속되고 있다.[5]

이상 기체 법칙은 아래 네 법칙에서 유도된다.

자세히 설명하자면,

(일정한 온도, 일정량의 기체에서 성립하는 보일 법칙)

(일정한 압력, 일정량의 기체에서 성립하는 샤를 법칙)

(일정한 온도, 일정한 압력에서 성립하는 아보가드로 법칙)

여기에서 $n$은 기체 분자의 물질량(몰수)에 해당한다. (물론 물질량은 단순하게 기체 입자의 개수 $N$를 아보가드로 수로 나눈 것일 뿐이므로 $V \propto N$이기도 하다.) 이 세 가지 법칙을 한 식으로 결합하면,

이 관계식에 비례상수 $R$[6]을 도입하여 정리하면 다음과 같다.

이 방정식을 이상 기체 상태 방정식이라고 하며, 이상 기체를 효과적으로 기술할 수 있는 상태 방정식이다. 이 기체 방정식은 기체 분자 운동론의 기본이 되는 식으로, 이 식에서 보일의 법칙, 샤를의 법칙, 보일-샤를의 법칙 및 아보가드로의 법칙 등을 쉽게 추론할 수 있으며, 기체의 분자량을 구하는 등의 일도 가능하다.

참고로 위의 식에서 $nRT$와 $Nk_{\rm B}T$ 두 가지 형태로 표현되어 있는데, 이 식을 이용하는 방식이 다르기 때문이다. 특히 주로 물리학과 화학에서 쓰는 방법이 다른데, 물리학에서는 개개의 입자가 어떻게 되는지에 관해서 관심이 있는 경우가 더 많기 때문에 입자의 개수가 바로 표현되는 $Nk_{\rm B}T$를 쓰는 경우가 많은 데 비해서, 화학에서는 물질량을 이용해서 거시적으로 어떤 현상이 발생하는지에 관심을 갖는 경우가 더 많이 때문에 $Nk_{\rm B}T$는 있는지도 모르는 수준으로 거의 $nRT$만 사용한다. 대학교 과정 이후에서 분명히 같은 부분인데 물리학도와 화학도 사이에 커뮤니케이션이 안될때는문제 풀려고 찾다가 솔루션을 구했는데 표기법이 다르다던가 이 부분을 생각하면 된다.

압력에 대하여 정리하면 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다. 주로 통계역학이나 천체물리학에서 선호하는 형태이다.

이 법칙은 기체 분자가 자체 크기가 없고, 서로 인/척력이 없으며[8][9], 완전 탄성운동을 한다는 허구의 가정 하에 수립되는 법칙(기체 분자 운동론)이므로 실제와 미세한 오차가 있지만, 대기압 부근에서는 거의 모든 기체에 대해서 잘 맞으며, 압력이 낮아질수록, 온도가 높을수록, 무극성이면서 분자량이 낮을수록 더 정확하게 성립힌다(헬륨이 이상 기체에 제일 가깝다는 이야기가 바로 이것.). (기체 분자 운동론 문서의 3번째 문단 참고.)[10] 이러한 이상 기체 법칙은 실험으로 측정한 거시적 행동과 구성 분자의 구조 및 상호작용을 연결한 최초의 예이다.

위의 유도방식은 실험결과를 종합한 결과이다. 보다 엄밀한 유도는 통계역학적 접근이 필요하다.

이상 기체 상태 방정식과 비슷한 식으로 $\varPi V=nRT$라는 식이 있다. $\varPi$(대문자 파이)는 삼투압이다.

고등학교나 대학 1학년 수준의 교재에서는 $\varPi = CRT$로 표현하기도 한다. 여기서 $C$는 용액의 몰농도를 의미한다. 두 방정식이 각각 기체와 액체에 대한 것이어서 서로 연관성이 적은데도 불구하고 그 꼴이 매우 유사하다는 것은 상당히 흥미로운 부분이다. 이는 두 현상이 본질적으로 엔트로피라는 동일한 열역학적 근원을 가지기 때문이다.

입자 간 상호 작용을 간단하게나마 적용한 꼴은 반데르발스 식이라고 부르며[11], 그 식은 ${\left\{P+a{\left(\dfrac nV\right)}^2\right\}}(V-bn)=nRT$이다. $a$, $b$는 반데르발스 상수인데 $a$는 분자의 인력에, $b$는 분자의 자체 부피에 비례하는 상수로서 기체마다 다른 값을 가지며, 실제 기체가 이상 기체의 거동에서 얼마나 벗어나는가를 나타내는 척도가 된다. 이상 기체의 경우 $a=b=0$이다. 과거 2013학년도 대학수학능력시험 언어영역 비문학 지문에서 이 방정식에 대한 지문이 출제된 적이 있다.

상전이를 설명하려면 이것을 사용해야 한다. 이상 기체가 아닌 실제 기체에서 사용되는 방정식이다. 실제 기체 상태 방정식이라고도 한다. 냉전 기간동안 급격하게 발전한 학문중 하나인데. 고작 50년간 학부수준에서 추가될 방정식만 3개가 추가된 상황으로 현재도 해당식이 없던 시절에 학부를 마친 교수들이 남아 있는 상황이다.

주요 식으로는 다음이 있다.

물리학이나 화학을 공부한 사람이 $PV=nRT$를 아주 유심히 본다면 의문점이 올 것이다. 왜냐하면 $F=G\dfrac{Mm}{r^2}$의 $G$나 $E_k=\dfrac32k_{\rm B}T$의 $\dfrac32$$k_{\rm B}$처럼 공식은 대부분 상수를 맨앞에 적는데 반해, $PV=nRT$의 우변 $nRT$에서 상수인 $R$(기체 상수)가 변수인 $n$(물질량)과 $T$(절대온도)의 사이에 위치해 있기 때문이다. 이 이유는 잘 알 수 없지만, 아마 읽기 쉽게 하려고 바꾸지 않았나 싶다. 아르엔티보다는 엔아르티가 더 읽기 쉬우니. 알파벳 순으로 배열했다는 설도 있다.

$PV=nRT$에서 $nRT$ 부분을 제대로 정렬하지 않고 쓰면 $nTR$(...)이라 가끔 공대개그의 일부로 쓰인다. 실제로 이런 식으로 공식을 외우는 사람들도 드물지 않게 볼 수 있다.