완전수

• 6 = 1 + 2 + 3 = 2³-2¹
• 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 1 + 2 + 3 + ... + 6 + 7 = 2⁵-2²
• 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 1 + 2 + 3 + ... + 30 + 31 = 2⁹-2⁴
• 8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064 = 1 + 2 + 3 + ... + 126 + 127 = 2¹³-2⁶

• $10^{1500}$보다 크다.[4]
• 105로 나누어떨어지지 않으며 $12k+1$, $324k+81$ 또는 $468k+117$ 꼴이다.
• 가장 큰 소인수는 $10^8$ 이상 $\sqrt[3]{3N}$ 미만이다.[5]
• 두 번째로 가장 큰 소인수는 10000 이상 $\sqrt[5]{2N}$ 미만이다.
• 세 번째로 가장 큰 소인수는 100 이상 $\sqrt[6]{2N}$ 미만이다.
• 101개 이상의 소수의 곱이며[6] 3의 배수이면 서로 다른 소인수의 수는 10개 이상이고, 아니면 12개 이상이다.[7]
• 서로 다른 소인수의 곱은 $2N^{\frac{17}{26}}$ 미만이다.
• $N=p_0^{e_0}p_1^{2e_1}p_2^{2e_2}\cdots p_k^{2e_k}$ 꼴이다. 여기서 $p_k$들은 서로 다른 소인수이고 $k$는 음이 아닌 정수이다.
  • $p_0\equiv e_0\equiv 1\pmod{4}$
  • 가장 작은 소인수는 최대 $\dfrac{k-1}2$이다.
  • 이 수를 나누는 소수의 거듭제곱수 중 적어도 하나는 $10^{62}$ 이상이다.
  • 이 수는 $2^{4^{k+1}-2^{k+1}}$보다 작다.
  • $e_0+2\displaystyle \sum_{n=1}^{k} e_n\geq\frac{99k-224}{37}$이고, $\displaystyle \sum_{n=0}^{k} \frac 1{p_n}>\frac{\ln k}{2\ln 2}$이다.

...a prolonged meditation on the subject has satisfied me that the existence of any one such odd perfect number — its escape, so to say, from the complex web of conditions which hem it in on all sides — would be little short of a miracle.

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이에 대한 기나긴 명상 끝에 나는 확신했다. 홀수 완전수가 존재한다면 — 모든 방향에서 빈틈없이 감싸는 복잡한 조건들의 그물을 모두 헤치고 빠져나올 수 있다면 — 그것은 거의 기적이나 마찬가지라고.

• 12 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6
  = 1 + 2 + 3 + 4 + 6
• 18 = 1 + 2 + 3 + 6 + 9
  = 1 + 2 + 3 + 6 + 9
• 24 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 12
• 30 = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15
  = 1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15
• 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18
  = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18
  = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18
  = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18
  = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18
  = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18
  = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18
• 42 = 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 14 + 21
• 88 = 1 + 2 + 4 + 8 + 11 + 22 + 44
• 100 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 50

• $10^{35}$ 이상이다.
• 홀수 제곱수이다. 즉 짝수 준완전수는 없다.[18]
• 서로 다른 소인수의 수는 7 이상이다.

• $a(n)>0$이면 $n$은 과잉수
• $a(n)=0$이면 $n$은 완전수
• $a(n)<0$이면 $n$은 부족수
• $a(n)=1$이면 $n$은 준완전수
• $a(n)=-1$이면 $n$은 태완전수

• $a^{-1}(k)$이 정확히 규명된 $k$는 단 하나도 없다.
• $k=-1$[22] 혹은 $n$이 완전수인 경우 $k=2n$[23] 일 때 $a^{-1}(k)$의 크기는 무한이나, 이 외 수에 대한 함수 집합의 크기는 알려지지 않았다.[24]
• $k$가 홀수일 때 $a^{-1}(k)$의 원소가 더 드물게 존재한다.[25]
• $a^{-1}(k)$의 원소의 존재가 알려지지 않은 절대값이 가장 작은 짝수는 $k=1870$이고, 홀수는 $k=1$이다.
• $n$이 과잉수라면 $n$과 서로소인 임의의 소수 $p$에 대하여 $a(pn)=pa(n)+\sigma_1(n)$이다.
• $n$이 부족수라면 소수 $p>\frac{\sigma_1(n)}{-a(n)}$에 대하여 $pn$이 부족수이다.
• 주어진 홀수 $n$에 대해 $2^k-n$이 소수인 경우 $a^{-1}(n-1)\supset\{2^{k-1}(2^k-n)\}$이다. [26]

• 3: 동양에서 완전성을 상징한다고 여겨진 수. 삼대가 여기에 해당한다. 서양에서는 삼위일체와 같은 형태로 나타난다. 이 이유로 3의 법칙 같은 게 생겨났다.
• 7: 성경에서, 하나님이 세상을 창조하고 난 후, 7일째 되는 날에 휴식하였다.
• 10: 현대에 가장 보편적으로 쓰이는 십진법, 사람의 손가락과 발가락의 개수.
• 12: 12시간, 12개월, 12진법 등 과거, 현재에도 시간의 단위로 쓰이고 완전수 취급을 받았던 수. 아이러니하게도 이렇게 된 이유가 약수가 많기 때문, 즉 과잉수이기 때문이다.