뉴턴의 운동법칙

라틴어: Leges motus Newtoni
영어: Newton's laws of motion

물리학자 아이작 뉴턴이 연구하여 1687년 자신의 저서인 <자연철학의 수학적 원리(프린키피아)>를 통해 기록한 운동법칙이다. 고전역학의 가장 기본이 되는 법칙이며 많은 과학 법칙들이 이를 토대로 만들어졌다.

모든 역학의 기본인 고전역학 중에서도 제일 기본적인 법칙이자 공리이기 때문에, 매우 중요한 것이다. 물리학 역사상 최고의 서적으로 평가받는 프린키피아에서도 제일 먼저 기본 공리로 등장할 정도이니 말 다 했다.

뉴턴의 운동법칙은 대표적인 귀납 법칙이자 경험 법칙이다.[1]

알짜힘(합력)[A]의 값이 0이라면[4] 물체의 운동 상태가 변하지 않는다는 법칙이다. “알짜힘이 0이라면 물체의 질량중심의 운동상태가 변하지 않는다”가 더욱 정확한 표현이다.

제1 법칙은 단순히 제2 법칙($F = ma$)[5]에서 $F = 0$의 상황에 불과한 것이 아니다. 제1 법칙의 성립 여부는 제2 법칙 성립의 전제이다. 어떤 좌표계에서 제2 법칙이 성립하려면 제1 법칙이 성립해야 한다. 즉, 관성 좌표계에 속해야 한다.[6]

관성의 법칙은 이를 발견한 학자의 이름을 따 '갈릴레이 법칙'이라고도 한다. 당시 과학계는 아리스토텔레스로부터 시작한 추진력(impetus) 이론이 지배적이었다. 아리스토텔레스는 모든 물체는 정지하려는 성향이 있다고 주장했고, 이 또한 중론이었다. 물론 당시로서는 마찰력이나 공기저항 등의 개념이 없었다. 이에 갈릴레이는 마찰력이 없는 경우 물체에 외부 힘을 주지 않으면 원래 하던 운동을 그대로 계속 하려는 성질이 있다며 운동하는 물체가 외부힘을 받지 않으면 물체는 등속직선운동한다고 주장했다. 자세한 내용은 갈릴레오 갈릴레이 문서 참조. 하지만 갈릴레이는 관성의 수식 따위를 완성한 적이 없고 천체의 운동에 대해서 서술한 것이다. 아이작 뉴턴이 관성의 비례상수 m(관성 질량, mass of inertia)을 정의하고 이것이 천체에 국한되지 않은 우주 전체의 것임을 천명하면서 관성계의 모든 운동을 해석하게 되었다.

$\mathbf{F}=m \mathbf{a}$의 공식 형태로 잘 알려져 있는데, 이 공식에서 $\mathbf{F}$는 알짜힘(합력)[A], $m$은 질량, $\mathbf{a}$는 가속도를 의미한다. 사실 $\mathbf{F}=m \mathbf{a}$를 사용한 것은 아이작 뉴턴이 아닌 대중에게는 수학자로 유명한 레온하르트 오일러[9]이다. 이 방정식을 물체의 운동 방정식(equation of motion)이라고 하며, 이 방정식을 풀면 물체의 운동을 구할 수 있다. 또한 이 법칙은 관성 좌표계[10]와 갈릴레이 변환에서 성립하는 법칙이다. 비관성 좌표계에서 물체의 운동이 어떻게 서술되는지는 비관성 좌표계 문서 참조.

가속도는 힘에 비례하고 질량에 반비례한다는 법칙이다. 보다 일반화된 표현으로 $\displaystyle \mathbf{F} = \dot{p}$ ($\mathbf{p}$ 는 운동량(momentum))라고 서술할 수 있는데, 고전역학에서 $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ 이므로 $\displaystyle \mathbf{F} = {\text{d}\mathbf{p} \over \text{d}t} = {\text{d}(m \mathbf{v}) \over \text{d}t} = m {\text{d}\mathbf{v} \over \text{d}t} = m \mathbf{a}$ 로 동일한 결과가 된다.

$\displaystyle \mathbf{F} = {\text{d}\mathbf{p} \over \text{d}t}$ 가 더 일반화된 표현이라고 부르는 이유는, 고전역학에서는 질량을 불변량으로 가정하므로 $\text{d}(m\mathbf{v}) = m~\text{d}\mathbf{v}$ 라고 할 수 있지만 상대성 이론에서는 $\text(m\mathbf{v})$ 앞에 추가적으로 속도에 의존하는 로렌츠 인자가 곱해지기 때문이다. 상대성 이론의 세계에서도 운동량 $\mathbf{p}$ 를 상대론적 운동량으로 바꿔주면 $\displaystyle \mathbf{F} = {\text{d}\mathbf{p} \over \text{d}t}$ 는 그대로 성립한다. 굳이 상대성 이론까지 가지 않아도 질량이 변하는 상황은 존재하는데, 가장 대표적인 예가 질량(연료)을 바깥으로 분사하여 날아가는 로켓.[11]

뉴턴이 프린키피아에서 운동량으로 p를 쓰는 바람에 400년 내내 온 인류가 운동량을 p로 쓰게 되었는데, 운동량을 왜 p로 썼느냐에 대해서는 밝혀지지 않아서 아직도 과학계와 역사학계에서 명백하게 밝힐 수 없는 미스터리로 남아있다. 분명히 이후 영국인들은 운동량을 momentum이라고 불렀는데, 대체 저 철자에 나오지도 않는 p가 어디서 나왔냐는 것. 영국 학계가 진작 뉴턴에게 직접 공식적으로 물어봐서 공식적으로 기록하였어야 했으나 뉴턴이 죽을때까지 안 해놓는 바람에, 증명된 게 없을 뿐더러 이제 와서 증명할 방법도 전혀 없지만, 학설은 여러가지가 있다. 그중 한 학설은 뉴턴이 처음에 운동량을 pimentum이라고 이름지었다는 것인데, 이는 pimento(라틴어나 라틴어계 언어로 피망)에서 나온 이야기라는 것이다. 당시 동그란 올리브 구멍에 피망씨앗을 잔뜩 넣어놓은 것을 보고 관성과 운동량을 생각해내서 pimentum이라고 이름 짓고 p로 책을 다 써놓고 나서, 나중에 생각해보니 운동량 이름이 피망이라는게 이상해서 수식은 못 바꾸고 문장에서 그것만 momentum으로 바꿨다는 학설이다. 이 설을 주장한 미국 학자는 하워드 코즐이라는 미국의 레전드 스포츠캐스터가 과거 권투 같은 스포츠 중계때 선수의 운동량을 mimentum이라고 자주 불렀다는 것과 그가 이것이 근대 영국 시절부터 존재한 오래된 표현이라 주장한 것에 착안하여, 뉴턴 시절의 소문에 대한 기록을 조사했다고 한다.

다른 학설은 고대 자연철학자 아리스토텔레스의 impetus에서 p를 따왔다는 설인데, 아리스토텔레스의 impetus는 한국어로 번역하자면 "정지성"[12] 같은 것으로 뉴턴의 관성과는 개념이 많이 다르다.

한편, 이것을 유체역학에 맞게 만든 것이 나비에-스톡스 방정식이다.

뉴턴의 제1 법칙과 연결해서 설명하자면, 힘은 운동량을 시간에 대해 미분한 것이므로 $\displaystyle \mathbf{F}=0$일 때 이를 적분한 운동량은 상수[13]라는 식으로 이해할 수도 있다.

$\displaystyle \mathbf{F}= \frac{\text{d} \mathbf{p}}{\text{d}t}$는 힘에 대한 정의를 줄 뿐이기 때문에 다른 물리학 지식들을 응용해서 나온 여러 해가 있다. 식들의 의미는 다 같다.

사실 이것들도 다 힘에 대한 정의의 일부이기 때문에 '힘' 자체의 근원이 무엇이고, 어느정도 크기를 가지는지는 경험적인 법칙을 통해 도출해야한다. 예를 들면 마찰력은 수직항력에 비례한다던지, 힘은 연직성분과 나머지 성분으로 분리가능하다던지, 만유인력에 관한 법칙이라던지. 이 식의 의의는 힘이 무엇인지 알려준다기 보다는 물체의 운동을 확실히 정의하고 계산할 수 있게 되었다는 것이다.

이 문단은 $\displaystyle F=ma$라는 공식이 어떻게 유도되는 지를 서술한다. 미분, 운동량, 가속도, 질량의 개념을 이해하고 있다는 가정 하에 작성하였다.

$F=ma$를 유도한다고 했지만, 사실 이 공식은 힘에 대한 정의라고 보는 게 일반적이다. 일부는 아예 이 공식을 유도할 수 없다고 한다.[14] 따라서 엄밀히 말하자면 유도 과정보단, 좀 더 심화적인 내용이라 하는 게 모두에게 만족스러운 셈이다.

우선, 물리학에서 말하는 힘에 대한 정의가 필요하다. 이 힘이라는 것은 '물체의 운동상태를 변화시키는 요인'이다. 운동은 기본적으로 고유한 크기와 방향이 동시에 있고, 힘을 얼마나 세게, 어떠한 방향으로 가했는지에 따라서 운동상태의 상세한 정보도 바뀌므로 힘은 벡터 물리량임을 알 수 있다.

여기에 운동량이라는 개념을 사용하면 보다 더 엄밀하고 수학적으로 힘을 정의할 수 있다. 운동량은 이름 그대로 물체의 운동의 양, 운동 상태를 나타내는 것으로, 다음과 같이 정의된다.



여기서 $m$과 $v$는 각각 질량, 속도이다.

한편, 다시 힘의 정의인 '물체의 운동상태를 변화시키는 요인'으로 돌아가보면, 운동상태의 변화, 즉 운동량의 변화량에 걸린 시간을 나눈 값이 힘이라고 볼 수 있다. 따라서 걸린 시간을 $\Delta t$라고 하면, 힘은



이를 운동량 - 시간 그래프로 그려보면 여기서의 힘은 평균 힘일 뿐임을 알 수 있다.[15] 보다 일반적인 개념인 순간 힘[16]은 여기에 극한이란 개념을 도입하며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.



이것은 운동량의 시간 미분이며, 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.



미분 곱의 규칙에 따르면, $\frac{d(fg)}{dt}=f \frac{dg}{dt}+g \frac{df}{dt}$이고, 앞서 이미 $p=mv$임을 논의했으므로 이 식은 다음과 같이 써진다.



그런데, 보통 질량 $m$은 변하지 않는다. 따라서 질량은 불변하는 값으로 정의를 내리며, 이를 수학적으로 말하면 '질량은 상수이다'가 된다. 상수를 미분하면 0이 나오므로 우변의 두번째 항 $v \frac{dm}{dt}$는 0이 되며, 따라서 다음과 같다.



여기서, $\frac{dv}{dt}$는 가속도에 대한 정의이므로, 이 가속도를 $a$라고 하면 다음을 얻는다.



이 과정을 수식으로 요약하면 다음과 같다.

이 법칙은 "힘은 오로지 계(system)의 외부에서만 오며 물체가 물체 스스로에 힘을 줄 수 없다." 를 의미한다. 즉, "힘의 근원은 어디인가" 를 알려주는 법칙이다.

한 물체 A가 다른 물체 B에게 작용하는 힘이 있을 경우, 그 다른 물체 B도 물체 A에 같은 크기의 힘을 반대 방향으로 가한다는 법칙이다. 한마디로 "한 물체가 다른 물체에 힘을 가하면 힘을 가한 물체도 힘을 가한 물체에 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 가한다"라고 말할 수 있다. 내가 땅바닥에 헤딩을 하는데 마치 땅바닥이 나를 때리는 것처럼 아픈 이유이기도 하다. A가 B에 작용하는 힘의 '결과'로 B가 A에 작용하는 반작용이 나오는 것이 아니라, 그 두 힘은 원래 동시에 존재하는 것이다. 즉, 새가 날개로 공기를 밀어내는 힘과 공기가 새의 날개를 밀어내는 힘은 동시에 작용한다는 것이다.

단, 겉보기 힘의 반작용은 존재하지 않는데 이것은 겉보기 힘이 가상의 힘이기 때문이다. 실존하는 힘이 아니기에 이에 대한 반작용도 실존하지 않는다. 앞서 말했듯, 실제로 존재하는 힘이면 그 힘의 반작용과 반드시 세트로 작용한다.

가끔 몇몇 문제에서 힘의 평형과 작용 반작용을 비교하여 물어보는데, 이때 혼동하지 않도록 주의해야 한다. 힘이 평형을 이루는 상황은 두 (혹은 셋 이상의 힘)힘의 작용점이 한 물체 안에 있고 두 힘의 합력(알짜힘)이 0이 되어 움직이지 않는 경우지만, 작용 반작용은 두 물체가 상호작용할 때의 경우로, 힘의 작용점이 서로 다른 물체에 있으므로 두 물체가 서로 별개의 운동을 한다. 즉, 두 물체간의 힘은 더할 수 없다.

정리하자면 뉴턴의 운동 법칙인 '작용 반작용의 법칙'의 특징은

한편 이 법칙에서 유도된 것이 운동량 보존의 법칙이다. 운동량은 힘을 시간으로 적분한 값으로 정의된다. 따라서 두 물체가 충돌해 운동량이 변할 때, 서로가 서로에게 같은 시간 동안 힘을 가할 것이다. 그런데 여기서 작용 반작용 법칙에 의해 서로가 서로에게 준 힘은 같다. 따라서 서로에게 같은 시간 동안 같은 힘을 줬으므로, 운동량의 변화량(충격량)은 서로 같다. 다시 말해, 충돌 전과 충돌 후의 운동량의 총합이 완전히 같다는 것이다.

간혹 지구가 물체를 지구 중심 방향으로 끌어당기는 중력에 대해서는 반작용이 없다고 생각하는 경우가 있는데, 이는 잘못된 지식이다. 지구가 사과를 당기는 것과 같은 크기로 사과도 지구를 당기고 있다. 단지 지구의 질량이 사과의 질량보다 넘사벽급으로 크기에 지구의 움직임이 너무도 미미해서 사실상 움직이지 않는 것이나 다름없을 뿐이다.

중력의 반작용으로 수직항력이 작용한다고 생각하는 사람들도 있으나, 이 역시 오류다. 수직항력은 물체들의 접촉면에서 서로에게 수직으로 작용하는 힘으로, 중력에 대한 반작용이 아니다. 테이블 위에 정지해 있는 사과를 예로 들어보자. 사과는 질량을 가지고 있기 때문에 지구가 이를 지구 중심 방향으로 잡아당긴다. 그러나 그와 동일한 힘으로 테이블이 사과를 밀기 때문에 사과에 작용하는 힘이 평형을 이루어 사과가 정지해 있는 것이다. 여기서 중력의 반작용은 사과가 지구를 끌어당기는 힘이고, 테이블이 사과에 작용하는 수직항력의 반작용은 사과가 테이블을 미는 힘이다. 즉, 정지한 물체에 작용하는 중력과 수직항력은 서로 작용 반작용 관계에 있는 것이 아니고, 두 힘이 평형을 이루는 것이다.

이 비디오를 보면 알겠지만 물병을 들고 가만히 서 있는 사람은 (물병의 질량)*(중력가속도)만큼 중력과 반대되는 방향으로 힘을 주어 평형 상태로 버티고 있었다. 가위로 줄을 자르며 더 이상 물병이 사람에게 힘을 가하지 않자, 물병이 자신을 당기는 만큼 힘을 주던 사람의 손이 계속해서 힘을 주고 있어서 손에 들고 있던 생크림 접시를 자기 얼굴에 덮어쓰게 된 것이다.

작용 반작용 법칙은 일상에서도 항상 적용되고 있다. 예를 들어, 걸음을 걷는 행위를 생각해보자. 이 상황에서는, 발이 땅을 차는 힘에 대한 반작용으로 땅이 사람을 동시에 밀기 때문에 사람이 앞으로 나아갈 수 있는 것이다. 이처럼 작용 반작용 법칙은 우리 주변의 모든 것이 상호작용할 때 적용되는 법칙이다.

또 다른 작용 반작용의 법칙이 적용되는 예로 흔히 하는 게임인 손바닥 치기 게임이 있다. 같은 힘으로 제대로 양쪽이 손바닥으로 상대에게 힘을 전달했다면 서로 반작용으로 휘청거리게 되며, 이를 균형감각으로 극복한다면 계속 서 있을 수 있게 되고, 그렇지 않다면 넘어져서 패배하게 된다. 위의 이유 때문에 손바닥을 때리는 사람도 맞는 사람 못지않게 아픔을 느낀다.

한편 오토바이와 4륜차가 충돌하는 경우를 생각해 보자. 4륜차가 오토바이에 작용하는 힘의 크기와 오토바이가 4륜차에 작용하는 힘의 크기는 같지만, 오토바이가 4륜차에 비해 질량이 작기 때문에 같은 크기의 힘으로도 그렇게 가속도가 크게 걸리는 것이다.

총의 작동 원리도 여기에 있다. 총알 등의 투사체가 밀어내는 것은 총이 아니라 연소된 화약 증기이다. 총이 반동을 받는 것은 총알이 밀어내기 때문이 아니라 총알이 화약증기를 밀어내고, 화약증기가 다시 총을 밀어내기 때문이다. 이 때문에 무반동총과 같이 화기의 반대쪽이 열려서 화약 증기가 바깥으로 빠져나가는 무기는 사용자가 받는 반동이 대폭 감소한다. 화약증기가 총을 밀쳐내지 못하기 때문이다.

뉴턴의 운동법칙 등으로 대표되는 고전역학 뿐만 아니라, 고전 전자기학과 이 둘의 상위 개념인 고전 물리학에 대해, 아인슈타인의 상대성 이론을 근거로 '고전 물리학은 틀렸음이 밝혀졌다'거나, '상대성 이론이 고전 물리학을 완전히 뒤집었다', '~전면 부정하였다' 처럼 알고있는 이들이 있다.

결론부터 말하자면 이는 잘못된 개념이다. 왜냐하면 고전물리학이 상대성 이론과 양자역학의 제일 중요한 기반 학문이기 때문이다. 즉, 고전물리학이 완전히 틀렸다면 현대물리학도 맞다고 볼 수 없다. 현실에서도 고전물리학 법칙들이 비교적 간단한 공식과 높은 정확성 때문에 상대론이나 양자역학보다 활용 범위가 넓다. 물론 이 둘은 고전물리학 이론들보다 설명할 수 있는 범위가 더 넓고, 전문적인 분야로 깊게 들어갈수록 고전물리학보다 더 정확한 계산을 가진다. 그러나 여전히 그 본질이나 말하는 것은 차이가 없으며, 고전물리학 역시 충분히 정확하기 때문에 물리학자가 아닌 일반인들 입장에선 상대론과 양자역학의 현실적인 역할은 고전물리학의 사소한 오류를 조금 고치는 역할을 할 뿐이기에 고전물리학은 여전히 매우 중요한 물리학 분야이다. 당장 상대성 이론 문서에서도 '고전물리학은 여전히 일상을 지배하는 물리학이다' 라고 서술되어있다.[17]

덧붙이자면 현재 받아들여지고 있는 모든 과학 개념들은 바뀌지 않는 우주만물의 절대적인 진리 같은게 아니다. 과학은 어디까지나 일시적으로 인정되는 개념이고, 현재 일어나는 자연현상을 설명하는 도구에 불과하다.[18] 또한 뉴턴의 운동법칙 등의 고전 물리학 법칙들은 대개 어떠한 수학적 원리 등에서 파생되었다거나 하는 연역 법칙이 아닌 관찰과 실험으로부터 정립된 귀납 법칙이자 경험 법칙이다. 따라서 고전 물리학이 틀렸다고 이해하는 것은 잘못된 개념이다.

이에 따라 현대의 물리학에서도 뉴턴의 운동법칙 등 고전 물리학 이론들을 다루고 있다. 다만, 아인슈타인이 발견했듯 고전 물리학이 설명할 수 있는 자연현상의 범위는 현대 물리학에 비해 좁은 것이 사실이다. 이에 현대 물리학에서는 고전 물리학의 개념에 상대론적 관점이 추가로 다루어지고 있다. 대표적인 예가 바로 상대론적 역학이다.

이 문서의 제목은 뉴턴의 운동법칙이지만, 교육과정에서의 명칭은 뉴턴 운동 법칙이다.

뉴턴의 운동 제2 법칙의 경우 엄밀한 증명 과정에선 미분이 사용되기 때문에[19] 결과론이나 예시 위주로 설명하는 성향이 강하며, 다른 법칙들도 본래 귀납적인 방법으로 증명되었다보니 수학적인 증명은 하지 않는다.

뉴턴의 운동법칙, 특히 제2 법칙인 $\displaystyle F=ma$는 고교 물리학에서 매우 중요한 내용이다. 어렵지는 않지만, 킬러로 자주 등장하는 역학적 에너지 보존이나 등가속도 운동에서 여러 물리량들을 유도하려면 이 지식이 무조건 필요하다. 무엇보다 물리학 2는 뉴턴의 운동법칙을 이해하고 있다는 가정 하에 서술되었기 때문에 뉴턴 운동 법칙 단원은 완벽히 이수해야 한다.