Математика

Евклид, детаљ од „Атинска школа“ од Рафаело Санти.

Математика претставува логички строго изучување на теми, како: квантитет, структура, простор и промена. Исто така, математиката е збир од знаења кој претставува предмет на дедуктивно расудување, почнувајќи со аксиоми и дефиниции. Математиката се користи во науката, инженерството, геодезијата, медицината и економијата. Зборот „математика“ доаѓа од старогрчкиот збор μάθημα (матема) што значи наука, знаење или учење и μαθηματικός (математикос), што значи љубител на учењето.

Историја

Главна статија: Историја на математиката

Еволуцијата на математиката може да се гледа како серија на сè поголема апстракција, или можеби ширење на темите. Првата апстракција веројатно била апстракцијата на броевите. Констатацијата дека две јаболка и две круши имаат нешто заедничко, имено дека ги пополнуваат рацете на точно еден човек, било епохално откритие за човештвото. Притоа праисториските народи не само што научиле да бројат „конкретни предмети, туку и „апстрактни квантитети, како време - денови, годишни времиња и години. Аритметиката (како на пр. собирање, одземање, множење и делење) дошле како природен редослед. Монолитските споменици сведочат за постоењето и на геометријата.

За секој понатамошен чекор било потребно писмо или некој друг принцип на запомнување на броеви како црти или јаженца со јазли наречени кипу кои се користеле во царството на Инките за зачувување на бројчени податоци.

Уште од почетокот на запишаната историја, главните потреби за математиката биле оданочувањето и трговијата, соодносот меѓу броевите, мерење на земја и претскажување на астрономски настани. Овие потреби се општо поврзани со категориите во математиката: „квантитет, „структура, „простор и „промена.

Оттогаш математиката е многу проширена со многу плодородно заемно дејство меѓу неа и другите науки.

Инспирација, чиста и применета математика и естетиката

Главна статија: Математичка убавина

Математиката се јавува секаде каде што постојат комплицирани проблеми со квантитет, структура, простор или промена. Најпрвин овие се јавувале во трговијата, мерење на земја и подоцна во астрономијата; денес, проблеми за математичарите се јавуваат кај сите науки, а многу проблеми исто така се јавуват и во самата математика. Њутн ја измислил анализата на бесконечно мали вредности и Фејман неговата Фејманова патна интеграла користејќи се со комбинација од расудување и физички набљудувања, како и денешната теорија на струните која претставува инспирација за нови математички подвизи. Дел од математиката е релевантна само на она кое ја инспирирало, и се применува за решавање на понатамошни проблеми во таа област. Но често математиката која е инспирирана од едно нешто се покажува како корисна во многу сфери.Кај речиси сите научни предмети, експлозијата на знаење во научното доба е директно одговорно за специјализацијата во математиката. Една главна поделба е помеѓу чиста математика и применета математика. Во рамките на применетата математика постојат две главни области, статистика и информатика.Многу математичари зборуваат за елеганцијата на математиката, нејзината вродена естетика и внатрешната убавина. Постои и убавина во итриот доказ, како Евклидовиот доказ дека постојат бесконечно многу прости броеви.

Нотација, јазик и строгост

Главна статија: Математичка нотација

Речиси сета математичка нотација која ја користиме денес не била измислена сè до 16 век. Пред тоа, математиката била испишувана со зборови, маконтрпна процедура која ја ограничувала математичката иновација. Современата нотација му ја олеснува математиката на стручњакот, но почетниците често ја гледаат како баук. Таа е екстремно збиена: неколку знаци содржат голем број информации. Математичкиот јазик е исто така тежок за почетници. Дури и обичните зборови како или и само имаат попрецизно значење отколку кај секојдневниот говор. Математичарите, како правниците, се стремат да бидат што по недвосмислени и јасни. Исто така збунувачки за почетниците се зборовите отвори и поле кои во математиката имаат посебно значење и математичкиот жаргон содржи технички изрази како „хомеоморфизам“ и интегралност. Математичарите ја нарекуваат прецизноста во математиката и логиката „строгост“.

Строгоста на фундаментално ниво е предмет на математички доказ. Математичарите се трудат нивните теореми да следат од аксиоми по пат на систематично расудување. Ова служи за избегнување на погрешни „теореми“, засновани на погрешливи интуиции, кои се имаат случено доста пати во историјата (како на пример кај математичката анализа). Нивото на строгоста во математиката варирала пред времето; грците очекувале детални аргументи, но веќе во времето на Исак Њутн методите биле помалку строги. Денес математичарите расправаат за компјутеризирани докази.

Традиционално аксиомите се сметаат за „вистини очигледни сами по себе“, но дека нивната замисла е проблематична. На формално ниво, аксиомата е само една нишка од знаци, која има внатрешно значење само во контекст на целосно изводливи формули кај аксиоматичкиот систем.

Дали математиката е наука?

Карл Фридрих Гаус ја нарекол математиката „Кралица на науките“. Ако сметаме дека науката треба да се занимава само со физичкиот свет, тогаш математиката, или барем чистата математика, не е наука. Кар Попер сметал дека математиката не е експериментално погрешлива и затоа не е наука. Друг став кај некои полиња (како кај теоретската физика) е дека математиката треба да содржи аксиоми кои соодветствуваат на реалноста. Всушност, теоретскиот физичар, J. M. Циман, се има искажано дека смета дека науката е јавно знаење и затоа математиката ѝ припаѓа на неа. [1] Во секој случај, математиката има многу заедничко со физичките науки, особено со истражувањето на логичките последици од хипотезите. Интуицијата и експериментацијата исто така играат улога во обликувањето на хипотезите како во математиката, така и во другите науки.

Ставовите на математичарите по оваа тема се различни. Додека некои математичари што се занимаваат со применета матекатика се сметаат за научници, оние кои работат на чиста математика сметаат дека се повеќе логичари, отколку научници и затоа дека се во основа, филозофи. Мнозина математичари сметаат дека со тоа што математиката се нарекува наука се омаловажува нејзината естетска улога, и нејзината теорија во традиционалните седум уметности; други пак, решаваат да ја игнорираат поврзаноста на математиката со науките.

Преглед на математичките полиња

Како што споменавме погоре, главните математички дисциплини настанале со потребите во трговијата, односите помеѓу броевите, мерењет на земја и претскажувањето на астрономски појави. Овие четири потреби соодветствуваат на поделбата на математичката тематика на квантитет, структура, простор и промена (т.е. аритметика, алгебра, геометрија и анализа).

Изучувањето на квантитетот започнува со броеви, најпрвин познатите природни броеви и цели броеви и нивните аримтетички операции, кои се окарактеризирани во самата аритметика. Подлабоките својства на целите броеви се изучуваат во теоријата на броевите.

Изучувањето на структурата започнало со истражувањето врз Питагорината тројка. Нелоитските споменици на Британските Острови се направени со помош на Питагорини тројки. Потоа ова довело до пронајдокот на поапстрактни броеви, како квадратниот корен. Подлабоките структурни својства на броевите кои се изучуваат во аптрактната алгебра и истражувањето врз групи, кола, полиња и други апстрактни бројни системи. Исто така тука спаѓа и важниот систем на вектори, генерализирани до векторски простори кои се изучуваат и во линеарната алгебра. Изучувањето на векторите ги содинува трите фундаментални математички полиња, квантитет, структура и простор.

Изучувањето на просторот започнало со геоматријата, со почеток во Евклидовата геометрија. Тригонометријата ги содеинува просторот и бројот. Современиото изучувње на просторот вклучува и повеќе димензии, неевклидовите геометрии (окои се од суштинско значење за општата релативност) и топологијата. Просторот и квантитетот играат улога кај аналитичката геометрија, диференцијалната геометрија и алгебарската геометрија. Во рамките на дифиренцијалната геометрија постојат концептите влакнести снопови и анализа на многуобразности. Во рамките на алгебарската геометрија постои и опис на геометриски тела како множества на решенија на полиномни равенки, кои ги соедниваат концептите на квантитет и простор, како и изучувањето на тополошки групи, кои пак ги соединуваат структурата и просторот. Ли групите се користат за изучување на простор, структура и промена. Топологијата во сета своја разгранетост веројатно е најбрзо растечката област во математиката од 20 век.

Проучувањето и описот на промени е честа тема на природните науки и математичката анализа и истиот претставува многу корисна алатка. Главниот концепт за опис на промена на квантитет е функцијата. Многу проблеми природно водат до нивниот квантитет и степенот на промена, како и до методите на диференцијални равенки. Броевите се чија помош се изразуваат континуираните квантитети се нарекуваат реални броеви, а деталното истражување на нивните својства и својствата на реално-борјните функции се нарекува реална анализа. Овие се генерализирани, со додавање на квандратниот корен од -1 на комплексни броеви, кои се изучуваат во комплексната анализа. Функционалната анализа се концентрира на (обично бесконечно-димензионални) простори на функциите. Една од честите примени на функционалната анализа е кај квантната механика. Многу природни појави се објаснуваат со динамички системи; теоријата на хаосот ги прецизира начините на кои многу од овие системи прикажуваат непредвидливо, но сепак детерминационо однесување.

По квантитетот, структурата, просторот и промената постојат области на чиста математика на кои може да им се пријде само до дедуктивно расудување. За разјаснување на основите на математиката биле измислени полињата математичка логика и теорија на множествата. Математичката логика која се дели на теорија на рекурзија, теорија на модели, и доказна теорија, денеска е тесноповрзана со информатиката. Кога комјутерите биле за првпат измислени, математичарите обликувале неколку важни теоретски концепти во информатиката, коие водат до полињата на теоријата на пресметливоста, теоријата на пресметковната комплексност и информациската теорија. Многу од овие теми денес се истражуваат во рамките на теоретската информатика. Математичките полиња кои се занимаваат со информатиката се нарекуваат дискретна математика.

Главни теми во математиката

Квантитет

Квантитетот почнува со броење и мерење.

$1,2,\ldots \,$	$\ldots ,-1,0,1,\ldots \,$	${\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},0.125,\ldots \,$	$\pi ,e,{\sqrt {2}},\ldots \,$	$i,3i+2,e^{i\pi /3},\ldots \,$
Природни броеви	Цели броеви	Рационални бреоеви	Реални броеви	Комплексни броеви

Број – Хиперкомплексни броеви – Кватерниони – Октониони – Седениони – Хиперреални броеви – Надреални броеви – Редни броеви – Основни броеви – п-адични броеви – Целобројни низи – математички константи – Називи на броеви – Бесконечност – Основа

Структура

Поимување на големина, симетрија и математичка структура.

$36\div 9=4$
Аритметика	Теорија на броеви	Апстрактна алгебра	Теорија на групи	Броен ред

Моноиди – Кола – Полиња – Линеарна алгебра – Алгебарска геометрија– Универзална алгебра

Простор

Визуелен пристап кон математиката.

Геометрија	Тригонометрија	Диференцијална геометрија	Топологија	Фрактална геометрија

Алгебарска геометрија – Диференцијална топологија – Алгебарска топологија – Линеарна алгебра – Комбинаторска геометрија – Многуобразија

Промена

начин на исразување и работа со промени кај математичките функции и промени помеѓу броевите.

		${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}y={\frac {d}{dx}}y+c$
Математичка анализа	Векторска анализа	Диференцијални равенки	Динамички системи	Теорија на хаосот

Анализа – Реална анализа – Комплексна анализа – Функционална анализа – Специјални функции – Мера – Хармониска анализа – Анализа на варијации

Темели и методи

Приоди кон спознавањето на природата на математиката.

$P\Rightarrow Q\,$
Математичка логика	Теорија на множества	Теорија на категории

Основи на математиката – Филозофија на математиката – Интуиционизам – Конструктивизам – Доказна теорија – Теорија на модели – Обратна математика

Дискретна математика

Дискретната математика содржи техники кои се применуваат врз тела кои можат да имаат само специфични, засебни вредности.

${\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}$
Комбинаторика	Пресметковна теорија	Криптографија	Теорија на графи

Теорија на пресметковност – Теорија на пресметковна комплексност – Информациска теорија

Применета математика

Применетата математика има за задача да развива нова математика за решавање на проблеми во вистинскиот живот.

Математичка физика – Механика – Механика на течностите – Бројчена анализа – Оптимизација – Веројатност – Статистика – Математичка економика – Финансова математика – Теорија на игрите – Математичка биологија – Криптографија – Математиката и архитектурата – Математика на музичките скали

Важни теореми

Следниве теореми ги интересираат и математичарите и не-математичарите.

Видете список на теореми за повеќе

Питагорина теорема – Последна Ферматова теорема – Геделови теореми за нецелосност – Основна теорема на аритметиката – Основна теорема на алгебрата – Основна теорема на анализата – Канторов дијагонален аргумент – Четирибојна теорема – Цорнова лема – Ојлеров идентитет – Класификациони теореми за рамнините – Гаус-Бонетова теорема – Квадратен реципроцитет – Рајман-Рохова теорема.

Важни хипотези

Видете список на хипотези за повеќе

Ова се дел од главните засега нерешени проблеми во математиката.

Голдбахова хипотеза – Хипотеза за простите броеви – Риманова хипотеза – Поинкарева хипотеза – Лолацова хипотеза – P=NP? – отворени Хилбертови проблеми.

Историјата и светот на математиката

Поврзано: Список на теми во историјата на математиката

Историја на математиката – Математички времеплов – Математичари – Филдсов медал – Абелова награда – Милениумски наградни проблеми – Интернационален математички сојуз – Математички натпревари – Латерално мислење – математичко образование – Математички способности и пол

Математиката како тема во уметноста и во популарната култура

• „Компаративна алгебра“ - песна на македонскиот поет Анте Поповски.
• „Мала вежба по математика со синот“ - песна на македонскиот поет Анте Поповски.
• „Математичарот и Андреј Семјонович“ - краток расказ на рускиот писател Данил Хармс.
• „Бог ѝ се поклонува на математиката“ (англиски: God Bows To Math) - песна на американската рок-група Минитмен (Minutemen) од 1984 година.
• „Читање, пишување и аритметика“ (англиски: Reading, Writing And Arithmetic) — музички албум на англиската рок-група Сандејс (The Sundays) од 1988 година.
• „Кинеска аритметика“ (Chinese Arithmetic) - песна на американската рок-група Феит ноу мор (Faith No More) од 1987 година.

Извор

• Kline, Morris, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, USA; Мека подвеска (1 март 1990). ISBN 0-19-506135-7.

Поврзано

• Математички проблем

Надворешни врски

• Математика на Ризницата ^?
• Е-математика — наставен интерактивен портал со видеа (македонски)