주기함수

수학에서 주기 함수(週期函數, 영어: periodic function)는 함숫값이 일정 주기마다 되풀이되는 함수이다. 일상적인 예로, 시계 시간은 시간에 대한 함수로서 주기 함수이다. 즉, 시계의 행동은 날마다 똑같다.

정의

실수 함수

0이 아닌 실수 $t\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$ 및 실수 부분 집합 $D\subset \mathbb {R}$ 및 실수 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 $f$ 를 주기 함수라고 하고, 실수 $t$ 를 $f$ 의 주기(週期, 영어: period)라고 한다.

임의의 $x\in D$ 에 대하여, $f(x+t)=f(x)=f(x-t)$ 이다.
$\textstyle f=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }T_{nt}(f|_{D\cap I})$ $\textstyle f=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }T_{nt}(f|_{D\cap I})$ 인 유한 실수 구간 $I\subset \mathbb {R}$ $I\subset \mathbb {R}$ 이 존재한다. 즉, $f$ $f$ 의 그래프는 그 "유한한" 제한의 그래프에 대한 거듭된 수평 평행 이동으로 생성된다.
- 여기서 $T_{t}(g)\colon \operatorname {dom} g+t\to \mathbb {R}$ 이며, $T_{t}(g)(x+t)=g(x)\ (\forall x\in \operatorname {dom} g)$ 이다. 즉, $T_{t}$ 는 함수의 그래프를 수평 방향으로 $t$ 만큼 평행 이동하는 변환이다.

이에 따라, 다음이 성립한다.

임의의 $x\in D$ 에 대하여, $x+t,x-t\in D$ 이다.
$\textstyle D=\bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }(D\cap I+nt)$ 인 유한 실수 구간 $I\subset \mathbb {R}$ 이 존재한다.

기본 주기

실수 주기 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$ 및 실수 $T\in \mathbb {R}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 실수 $T$ 를 $f$ 의 기본 주기(基本週期, 영어: fundamental period, primitive period)라고 한다. 이는 존재하지 않을 수 있다.

$T$ 는 양의 최소 주기이다.
$\operatorname {prd} f=T\mathbb {Z}$ . 즉, $f$ 의 주기는 곧 $\ldots ,-2T,-T,0,T,2T,\ldots$ 이다.

성질

실수 주기 함수 $f\colon D\to \mathbb {R}$ 의 주기와 0의 집합을 $\operatorname {prd} f$ 로 적자. 즉,

\operatorname {prd} f=\{t\in \mathbb {R} \colon f(x+t)=f(x)\}

이라고 하자. 그렇다면, 이는 덧셈에 대하여 닫혀있다. 다시 말해,

임의의 $t,u\in \operatorname {prd} f$ 에 대하여, $t+u,t-u\in \operatorname {prd} f$ 이다.
특히, 임의의 $t\in \operatorname {prd} f$ 및 $n\in \mathbb {Z}$ 에 대하여, $nt\in \operatorname {prd} f$ 이다.