자기 사상

수학에서 자기 사상(自己寫像, 영어: endomorphism 엔도모피즘^[*])은 그 정의역과 공역이 같은 사상이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 에서, $f\colon X\to X$ 와 같이, 시작과 끝이 같은 사상을 자기 사상이라고 한다.

집합의 범주에서, 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함수이며, 이를 자기 함수(自己函數, 영어: self-map)라고 한다.
대수 구조의 범주에서, 자기 사상은 자기 준동형 사상(自己準同型寫像)이라고 한다.
(작은) 범주의 범주에서, 자기 사상은 정의역과 공역이 같은 함자이며, 이를 자기 함자(自己函子, 영어: endofunctor)라고 한다.

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 대상 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 의 자기 사상들은 모노이드를 이루며, 이를 자기 사상 모노이드(自己寫像monoid, 영어: endomorphism monoid)라고 한다.

아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$ 의 모노이드 대상이 환이므로, 아벨 범주(또는 일반적으로 아벨 군에 대하여 풍성한 범주)의 대상 $X$ 의 자기 사상들은 환을 이룬다. 이를 자기 사상환(自己寫像環, 영어: endomorphism ring)이라고 하고, $\operatorname {End} (X)$ 라고 쓴다.
(작은) 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$ 는 2-범주이므로, 주어진 범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 자기 함자들의 모임 $\operatorname {End} {\mathcal {C}}$ 는 범주를 이룬다. 즉, 이 범주의 사상은 자기 함자 사이의 자연 변환이다. 이를 자기 함자 범주(自己函子範疇, 영어: endofunctor category)라고 한다. 자기 함자 범주에서의 모노이드 대상은 모나드라고 한다.

동형 사상인 자기 사상을 자기 동형 사상이라고 한다.

구체적 범주의 자기 사상 $f\colon X\to X$ 에 대하여, 고정점은 $f(x)=x$ 인 원소 $x\in X$ 이다.

예

체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K{\text{-Vect}}$ 에서, 벡터 공간 $V$ 의 자기 사상은 선형 변환 $V\to V$ 이다. 유한 차원의 경우, 이는 정사각 행렬로 나타낼 수 있으며, 이 경우 자기 사상환은 정사각 행렬들의 환 $\operatorname {Mat} (\dim V,k)$ 이다. 자기 동형 사상은 이 가운데 핵과 여핵이 모두 0차원인 경우(전단사인 경우)다.

준군의 경우, 모든 자기 사상은 자기 동형 사상이다. 모노이드 $M$ 을 하나의 대상 $\bullet$ 만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 유일한 대상의 자기 사상 모노이드 $\operatorname {End} (\bullet )$ 는 $M$ 자체와 동형이다.

위상 공간의 자기 사상의 경우, 렙셰츠 고정점 정리나 브라우어르 고정점 정리와 같은 정리들이 성립한다.

참고 문헌

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Endomorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Endomorphism ring”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Self-map”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Endomorphism”. 《nLab》 (영어).
“Endomorphism ring”. 《nLab》 (영어).
“Endomorphism operad”. 《nLab》 (영어).
“Endofunctor”. 《nLab》 (영어).
“Self-Map”. 《ProofWiki》 (영어).

같이 보기