유클리드 정역

유클리드 정역(Euclid整域, Euclidean domain), 또는 유클리드 환(-環, Euclidean ring)은 특수한 구조를 가지고 있어서 유클리드 호제법과 비슷한 과정이 가능한 정역을 부르는 말이다.

정의

정역 $R$ 위의 유클리드 함수(영어: Euclidean function) $f\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ 는 다음 성질을 만족시키는 함수이다.

임의의 $a\in R$ 및 $b\in R\setminus \{0\}$ 에 대하여,
$a=bq+r$
이며 $r=0$ 또는 $f(r)<f(b)$ 인 $q,r\in R$ 가 존재한다.

유클리드 정역은 유클리드 함수가 적어도 하나가 존재하는 정역이다.

일부 문헌에서는 유클리드 함수의 정의에 다음 조건을 추가하기도 한다.

그러나 이 조건을 추가해도 유클리드 정역의 정의는 바뀌지 않는다. 즉, (더 약한 정의에 대한) 유클리드 함수를 갖춘 정역은 항상 더 강한 정의에 대한 유클리드 함수를 갖춘다.

모든 체는 자명하게 유클리드 정역을 이루며, 모든 유클리드 정역은 주 아이디얼 정역이다. 일반적으로, 다음 포함 관계가 성립한다.

정수환 $\mathbb {Z}$ 는 유클리드 정역을 이루며, 이 경우 유클리드 함수를 절댓값 $|\cdot |$ 으로 잡을 수 있다. 절댓값이 유클리드 함수라는 것은 나눗셈 정리의 따름정리다.
체 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$ 는 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 다항식의 차수 $\deg p\in \mathbb {N}$ 이다.
체 $K$ 위의 형식적 거듭제곱 급수의 환 $K[[x]]$ 역시 유클리드 정역이다. 이 경우, 유클리드 함수는 형식적 거듭제곱 급의 차수 $\deg p\in \mathbb {Z}$ 이다.
가우스 정수의 환 $\mathbb {Z} [i]$ 은 유클리드 정역이다. 이 경우 유클리드 함수는
$f(a+bi)=a^{2}+b^{2}\in \mathbb {N}$
와 같이 정의할 수 있다.

다항식환 $K[x]$ 에서, 차수 $\deg$ 가 유클리드 함수를 이룬다는 사실은 다음과 같이 보일 수 있다. $f,g\in K[x]$ 이며, $g\neq 0$ 이라고 하자. 이 경우,

f=gq+r

이며 $\deg r<\deg g$ 인 $q,r\in K[x]$ 의 존재를 보이면 된다.

집합 $S\subset K[x]$ 를

S=\{f-gh\colon h\in K[x]\}

와 같이 정의하자. 자명하게, $S$ 가 공집합일 수는 없다. $r$ 를 $S$ 의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식이라 하자. 그렇다면

f=gq+r

를 만족시키는 $q\in K[x]$ 가 존재한다. 이제, $\deg r<\deg g$ 이거나 $\deg r\geq \deg g$ 이다. 귀류법을 사용해, $\deg r\geq \deg g$ 라고 가정하자.

r=ax^{\deg r}+\cdots

g=bx^{\deg g}+\cdots

라면,

{\tilde {r}}=r-(a/b)x^{\deg r-\deg g}g\in S

이지만

\deg {\tilde {r}}<\deg r

이므로 모순이다.

허수 이차 수체 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})$ 의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ 는 유클리드 정역을 이룬다.
체 노름 $f(a+b{\sqrt {-d}})=a^{2}+b^{2}d$ 은 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}$ 의 유클리드 함수이다.
$d=1,2,3,7,11$

실수 이차 수체 $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ 의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

체 노름의 절댓값 $f(a+b{\sqrt {d}})=|a^{2}-b^{2}d|$ 은 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 의 유클리드 함수이다.
$d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73$ (OEIS의 수열 A003174)