아이디얼 유군

대수적 수론과 가환대수학에서 아이디얼 유군(ideal類群, 영어: ideal class group) 또는 유군(類群, 영어: class group)은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정하는 아벨 군이다. 아이디얼 유군이 자명군이 아니라면 유일 인수 분해가 성립하지 않는다.

정의

아이디얼을 통한 정의

정역 $R$ 의 0이 아닌 아이디얼들의 집합 위에 다음과 같은 동치관계를 부여하자.

{\mathfrak {a}}\sim {\mathfrak {b}}\iff \exists r,s\in R\setminus \{0\}\colon (r){\mathfrak {a}}=(s){\mathfrak {b}}

여기서 $(r)$ 는 $r$ 로 생성되는 주 아이디얼이다. 이 관계는 동치 관계임을 보일 수 있으며, 또한 아이디얼의 곱셈과 호환된다. 즉, 이에 따른 동치류 집합은 가환 모노이드를 이룬다. 만약 $R$ 가 데데킨트 정역이라면 이 가환 모노이드는 아벨 군을 이룸을 보일 수 있으며, 이 아벨 군을 $R$ 의 아이디얼 유군이라고 하고, 아이디얼 유군의 크기를 유수(類數, 영어: class number)라고 한다.

분수 아이디얼을 통한 정의

아이디얼 유군은 분수 아이디얼로도 정의할 수 있다. 정역 $R$ 가 주어졌을 때, 다음과 같은 가환 모노이드들을 정의할 수 있다.

$R$ 의 분수 아이디얼의 곱셈에 대한 가환 모노이드 $\operatorname {FracIdeal} (R)$ . 및 그 가역원군 $\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }$ . 만약 $R$ 가 데데킨트 정역이라면 0이 아닌 모든 분수 아이디얼은 가역원이다 ( $\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }=\operatorname {FracIdeal} (R)\setminus \{0\}$ ).
$R$ 의 주 분수 아이디얼의 곱셈에 대한 가환 모노이드 $\operatorname {PrFracIdeal} (R)=\{Rr/s\colon r/s\in \operatorname {Frac} R\}$ 및 그 가역원군 $\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }=\{Rr/s\colon r/s\in (\operatorname {Frac} R)^{\times }\}$ . (여기서 $\operatorname {Frac} R$ 는 분수체이다.)

이들 사이의 포함 관계는 다음과 같다.

{\begin{matrix}&\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }&\subsetneq &\operatorname {FracIdeal} (R)\\&\cup &&\cup \\\operatorname {PrFracIdeal} (R)\cap \operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }=&\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }&\subsetneq &\operatorname {PrFracIdeal} (R)\end{matrix}}

그렇다면 다음과 같은 몫군을 $R$ 의 아이디얼 유군이라고 한다.

\operatorname {Cl} (R)={\frac {\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }}{\operatorname {PrFracIdeal} (R)^{\times }}}

$R$ 의 분수체 $\operatorname {Frac} R$ 가 형식적 실체라고 하자. $R$ 의 원소 $r\in R$ 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 완전히 양의 원소(영어: totally positive element)라고 한다.

임의의 순서체 $(K,\leq )$ 로의 매장 $\iota \colon \operatorname {Frac} R\hookrightarrow K$ 에 대하여, $\iota (r)>0$ 이다.

그렇다면, 다음과 같은 추가 아벨 군을 정의할 수 있다.

$R$ 의 완전히 양의 주 분수 아이디얼(영어: totally positive principal fractional ideal)의 아벨 군 $\operatorname {PrFracIdeal} _{+}(K)\subseteq \operatorname {PrFracIdeal} (K)^{\times }$ . 이는 완전히 양의 원소로 생성되는 주 아이디얼들의 곱셈에 대한 아벨 군이다.

그렇다면, 다음과 같은 몫군을 $R$ 의 좁은 유군(영어: narrow class group)이라고 한다.

\operatorname {Cl} _{+}(R)={\frac {\operatorname {FracIdeal} (R)^{\times }}{\operatorname {PrFracIdeal} _{+}(R)^{\times }}}

성질

대수적 수체의 대수적 정수환의 아이디얼 유군은 유한 아벨 군이다. (대수적 정수환이 아닌 데데킨트 정역의 경우, 아이디얼 유군이 무한 아벨 군일 수 있다.)

아이디얼 유군은 데데킨트 정역에서 유일 인수 분해가 실패하는 정도를 측정한다. 즉, 데데킨트 정역 $R$ 의 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$R$ 는 유일 인수 분해 정역이다.
$R$ 는 주 아이디얼 정역이다.
$R$ 의 아이디얼 유군이 자명군이다.
$R$ 의 유수가 1이다.

2항 이차 형식과의 관계

제곱 인수가 없는 정수 $d<0$ 에 대하여, 다음 두 집합 사이의 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

이차 수체의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 의 아이디얼 유군 $\operatorname {Cl} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})})$
$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ 의 판별식과 같은 판별식 $b^{2}-4ac$ 을 갖는 정수 계수 2항 이차 형식 $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ 들의 집합

제곱 인수가 없는 정수 $d>0$ 에 대하여, 다음 두 집합 사이의 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

이차 수체의 대수적 정수환 ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 의 좁은 유군 $\operatorname {Cl} _{+}({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})})$
$\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ 의 판별식과 같은 판별식 $b^{2}-4ac$ 을 갖는 정수 계수 2항 이차 형식 $ax^{2}+bxy+cy^{2}$ 들의 집합

따라서, 이 경우 정수 계수 2항 이차 형식들의 집합은 자연스럽게 아벨 군의 구조를 가진다.

구체적으로, ${\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 의 모든 0이 아닌 분수 아이디얼 ${\mathfrak {I}}\in \operatorname {FracIdeal} ({\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})})$ 은 다음과 같은 꼴로 나타낼 수 있다.^[1]^{:Appendix A}

{\mathfrak {I}}=\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}\qquad \left(\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {Q} ({\sqrt {d}}),\qquad {\frac {{\bar {\omega }}_{1}\omega _{2}-\omega _{1}{\bar {\omega }}_{2}}{\sqrt {d}}}>0\right)

(여기서 ${\overline {a+b{\sqrt {d}}}}=a-b{\sqrt {d}}$ 이다.) 그렇다면, 위와 같은 꼴의 분수 아이디얼 $\mathbb {Z} \omega _{1}+\mathbb {Z} \omega _{2}$ 에 대응하는 정수 계수 2항 이차 형식은 다음과 같다.

Q_{\omega _{1},\omega _{2}}(x,y)={\frac {(\omega _{1}x-\omega _{2}y)({\bar {\omega }}_{1}x-{\bar {\omega }}_{2}y)}{\operatorname {N} ({\mathfrak {I}})}}

여기서

\operatorname {N} ({\mathfrak {I}})=\left|{\frac {\omega _{1}{\bar {\omega }}_{2}-{\bar {\omega }}_{1}\omega _{2}}{\sqrt {d}}}\right|>0

는 분수 아이디얼의 절대 아이디얼 노름(영어: absolute ideal norm)이다. 즉, 분수 아이디얼 ${\mathfrak {I}}={\mathfrak {a}}/r$ 에 대하여, 다음과 같다.

\operatorname {N} ({\mathfrak {a}}/r)={\frac {|{\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}/{\mathfrak {a}}|}{|\operatorname {N} _{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbb {Q} }(r)|}}\in \mathbb {Q} ^{+}\qquad ({\mathfrak {a}}\subseteq R,\;r\in R)

(여기서 분자는 몫환의 크기이며, 분모는 체 노름의 절댓값이다.)

예

일반적으로 아이디얼 유군은 매우 복잡한 패턴을 보이며, 많은 경우 계산하기 힘들다. 계산된 아이디얼 유군 또는 유수들의 예를 다음 표에 수록하였다.

수체	유군	유수
$\mathbb {Q}$	1	1
$\mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]$ , $d=1,2,3,7,11,19,43,67,163$	1	1
$\mathbb {Q} [{\sqrt {-5}}]$	$\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$	2
$\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ , $d=2,3,5,6,7,11,13,14,17,\dots$ (OEIS의 수열 A003172)	1	1
$\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ , $n=1,\dots ,21,24,25,27,28,32,33,35,36,40,44,45,48,60,84$ (OEIS의 수열 A005848)	1	1
$\mathbb {Q} (\zeta _{23})$	$\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$	3
$\mathbb {Q} (\zeta _{29})$ ^[2]	$(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{3}$	8
$\mathbb {Q} (\zeta _{31})$		9
$\mathbb {Q} (\zeta _{68})$ ^[2]	$\mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$	8
$\mathbb {Q} [x]/(x^{3}-x^{2}-2x+1)$	1	1
$\mathbb {Q} [x]/(x^{3}-3x-1)$	1	1
$\mathbb {Q} [x]/(x^{3}-x^{2}-3x+1)$	1	1

아이디얼 유군이 자명한 허수 이차 수체의 수는 유한하다. $\mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]$ 에서 가능한 $d$ 는 총 9개이며, 다음과 같다.

d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 (OEIS의 수열 A003173)

이 수들을 헤그너 수라고 한다. 이들은 카를 프리드리히 가우스가 처음 나열하였고, 쿠르트 헤그너(Kurt Heegner)가 이 목록이 전부라는 것을 증명하였다.

실수 이차 수체 $\mathbb {Q} [{\sqrt {d}}]$ 가운데 유수가 1인 경우는 더 많으며, 다음과 같다.^[3]^:37

d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, … (OEIS의 수열 A003172)

아이디얼 유군이 자명한 원분체의 수는 유한하다. $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]$ 이 유한한 경우는 다음과 같다.

n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 (OEIS의 수열 A005848)

여기서 만약 $n\equiv 2{\pmod {4}}$ 라면 $\mathbb {Q} [\zeta _{n}]=\mathbb {Q} [\zeta _{n/2}]$ 이므로, 이러한 경우는 생략하였다.

소수 계수의 원분체 $\mathbb {Q} [\zeta _{p}]$ 의 유수는 (OEIS의 수열 A005848)에 의하여 주어진다.

같이 보기

각주

↑ Harcos, G. (2010). 〈Equidistribution on the modular surface and L-functions〉. 《Homogeneous flows, moduli spaces and arithmetic. Proceedings of the Clay Mathematics Institute summer school, Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Pisa, Italy, June 11–July 6, 2007》. Clay Mathematics Proceedings (영어) 10. American Mathematical Society. 377-387쪽. ISBN 978-0-8218-4742-8. 2016년 4월 11일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 11일에 확인함.
↑ ^가 ^나 Gerth, Frank (1980). “The ideal class groups of two cyclotomic fields”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 78: 321–322. doi:10.1090/S0002-9939-1980-0553367-5. MR 553367.
↑ Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

외부 링크

“Divisor class group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Ideal class”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Class group”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Class number”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Ideal class group”. 《nLab》 (영어).

[1] Harcos, G. (2010). 〈Equidistribution on the modular surface and L-functions〉. 《Homogeneous flows, moduli spaces and arithmetic. Proceedings of the Clay Mathematics Institute summer school, Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Pisa, Italy, June 11–July 6, 2007》. Clay Mathematics Proceedings (영어) 10. American Mathematical Society. 377-387쪽. ISBN 978-0-8218-4742-8. 2016년 4월 11일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 4월 11일에 확인함.

[Gerth-2] 가 ^나 Gerth, Frank (1980). “The ideal class groups of two cyclotomic fields”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 78: 321–322. doi:10.1090/S0002-9939-1980-0553367-5. MR 553367.

[Neukirch-3] Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

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