쌍대곱

범주론에서 쌍대곱(雙對-, coproduct)은 곱에 대한 쌍대(dual) 개념이다. 가군의 직합이나 집합의 서로소 합집합 등을 일반화한 것이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림의 차극한(colimit)으로 생각할 수 있다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 대상의 집합 $\{X_{j}\}_{j\in J}$ 를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 쌍대곱 $\coprod _{j\in J}X_{j}$ 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

대상 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$
각 $X_{j}$ 에 대하여, 사상 $i_{j}\colon X_{j}\to X$

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 $Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$ 와 사상 $f_{j}\colon X_{j}\to Y$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $f\colon X\to Y$ 가 존재한다.

fi_{j}=f_{j}

.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 $f$ 가 존재한다.

예

각종 범주에서의 쌍대곱은 다음과 같다.

범주	쌍대곱
집합의 범주 $\operatorname {Set}$	분리합집합 $A\sqcup B$
위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$	분리합공간 $A\sqcup B$
군의 범주 $\operatorname {Grp}$	자유곱 $A*B$
아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$	직합 $A\oplus B$ (유한 직합은 곱과 일치)
체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K-\operatorname {Vect}$	직합 $A\oplus B$
환 $R$ 에 대한 왼쪽 가군의 범주 $R-\operatorname {Mod}$	직합 $A\oplus B$
콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {CompHaus}$	분리합공간의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta (A\sqcup B)$

같이 보기