Prodotto scalare

In matematica, in particolare nel calcolo vettoriale, il prodotto scalare è un'operazione binaria che associa ad ogni coppia di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale definito sul campo reale un elemento del campo.^[1] Si tratta di un prodotto interno sul campo reale, ovvero una forma bilineare simmetrica definita positiva a valori reali. Essendo un prodotto puramente algebrico non può essere rappresentato graficamente come vettore unitario.

La nozione di prodotto scalare è generalizzata in algebra lineare dallo spazio euclideo ad uno spazio vettoriale qualsiasi: tale spazio può avere dimensione infinita ed essere definito su un campo arbitrario (non necessariamente quello reale). Questa generalizzazione è di fondamentale importanza ad esempio in geometria differenziale e in meccanica razionale. Aggiungendo un'ulteriore proprietà, la completezza, porta inoltre al concetto di spazio di Hilbert, per il quale la teoria si arricchisce di strumenti più sofisticati, basilari nella modellizzazione della meccanica quantistica e in molti campi dell'analisi funzionale.

Definizione

Si definisce prodotto scalare sullo spazio vettoriale $V$ una forma bilineare simmetrica che associa a due vettori $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ di $V$ uno scalare nel campo reale $\mathbb {R}$ , generalmente indicato con $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle$ o $\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$ .^[2]

Si tratta di un operatore binario che verifica le seguenti condizioni per $\mathbf {v}$ , $\mathbf {w}$ , $\mathbf {u}$ vettori arbitrari e $k$ elemento del campo:

Simmetria:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle

Linearità rispetto al primo termine:

\langle \mathbf {v} +\mathbf {w} ,\mathbf {u} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\mathbf {u} \rangle

\langle k\mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =k\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle

Diversi autori richiedono anche che la forma sia definita positiva, cioè che:^[1]

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle >0

per ogni $\mathbf {v}$ diverso da zero.

Le precedenti richieste implicano anche le seguenti proprietà:

Linearità rispetto al secondo termine:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} +\mathbf {u} \rangle =\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle

\langle \mathbf {v} ,k\mathbf {w} \rangle =k\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle

e dal momento che un vettore moltiplicato per 0 restituisce il vettore nullo, segue che:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {0} \rangle =0

.

Prodotto scalare degenere

Il prodotto scalare è degenere se esiste un vettore $\mathbf {v}$ non nullo ortogonale a tutti i vettori, cioè tale che:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0

per ogni vettore $\mathbf {w}$ dello spazio.

Prodotto scalare definito positivo e negativo

Un prodotto scalare su uno spazio vettoriale $V$ è definito positivo se:^[3]

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle >0\qquad \forall \mathbf {v} \neq 0

definito negativo se:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle <0\qquad \forall \mathbf {v} \neq 0

semi-definito positivo:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \geq 0\qquad \forall \mathbf {v}

semi-definito negativo se:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq 0\qquad \forall \mathbf {v}

Un prodotto scalare semi-definito positivo è (raramente) chiamato anche prodotto pseudoscalare.

Prodotto scalare nello spazio euclideo

Interpretazione geometrica del prodotto scalare (quando B ha lunghezza unitaria)

{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=|AB|\times |AH|>0

{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}=-|AB|\times |AH|<0

Il prodotto scalare di due vettori $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ del piano, applicati sullo stesso punto, è definito come:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta

dove $|\mathbf {a} |$ e $|\mathbf {b} |$ sono le lunghezze di $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ , e $\theta$ è l'angolo tra i due vettori. Il prodotto scalare si indica come $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ , e soddisfa le proprietà algebriche di simmetria:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}

per ogni coppia di vettori $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ , e di bilinearità:

\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c}

\mathbf {a} \cdot (\lambda \mathbf {b} )=\lambda (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )

(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}

(\lambda \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} =\lambda (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )

per ogni tripletta di vettori $\mathbf {a}$ , $\mathbf {b}$ , $\mathbf {c}$ e per ogni numero reale $\lambda$ . Le prime due relazioni esprimono la "linearità a destra" e le altre due "a sinistra".

Il prodotto scalare di un vettore con se stesso è sempre maggiore o uguale a zero:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} |^{2}\geqslant 0

Inoltre, questo è zero se e solo se il vettore è zero (proprietà di annullamento del prodotto scalare):

\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} |^{2}=0\Leftrightarrow \mathbf {a} =0

Questa proprietà può essere espressa affermando che il prodotto scalare è definito positivo.

Interpretazione geometrica

Poiché $|\mathbf {a} |\cos \theta$ è la lunghezza della proiezione ortogonale di $\mathbf {a}$ su $\mathbf {b}$ se i vettori proiezione ortogonale di $\mathbf {a}$ su $\mathbf {b}$ e $\mathbf {b}$ hanno stessa direzione, altrimenti è l'opposto della lunghezza, si può interpretare geometricamente il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e di $\mathbf {b}$ , moltiplicato per -1 se la proiezione ortogonale di $\mathbf {a}$ su $\mathbf {b}$ e $\mathbf {b}$ hanno direzione opposta. Si possono inoltre scambiare i ruoli di $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ , interpretare $|\mathbf {b} |\cos \theta$ come la lunghezza (con segno definito come prima) della proiezione di $\mathbf {b}$ su $\mathbf {a}$ ed il prodotto scalare come il prodotto delle lunghezze di questa proiezione e della lunghezza di $\mathbf {a}$ .

Prodotto scalare positivo, nullo e negativo

Il coseno di un angolo $\theta$ è positivo se $\theta$ è un angolo acuto (cioè compreso fra -90° e 90°), nullo se $\theta$ è un angolo retto e negativo se è un angolo ottuso. Ne segue che il prodotto scalare $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ è:

Positivo se $|\mathbf {a} |>0$ , $|\mathbf {b} |>0$ e l'angolo $\theta$ è acuto.
Nullo se $|\mathbf {a} |=0$ , $|\mathbf {b} |=0$ oppure $\theta$ è retto.
Negativo se $|\mathbf {a} |>0$ , $|\mathbf {b} |>0$ e l'angolo $\theta$ è ottuso.

I casi in cui $\theta$ è acuto ed ottuso sono mostrati in figura. In entrambi i casi il prodotto scalare è calcolato usando l'interpretazione geometrica, ma il segno è differente.

In particolare, valgono inoltre le proprietà seguenti:

Se $\theta =0$ i vettori sono paralleli ed $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |$ .
Se $\theta =\pi /2$ i vettori sono ortogonali ed $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =0$ .
Se $\theta =\pi$ i vettori sono paralleli ma orientati in verso opposto, ed $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =-|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |$ .

Se $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ sono versori, cioè vettori di lunghezza 1, il loro prodotto scalare è semplicemente il coseno dell'angolo compreso.

Il prodotto scalare di un vettore $\mathbf {a}$ con se stesso $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} |^{2}$ è il quadrato della lunghezza $|\mathbf {a} |$ del vettore.

Applicazioni in fisica

Il lavoro è il prodotto scalare fra i vettori

F

e

u

.

Nella fisica classica, il prodotto scalare è usato nei contesti in cui si debba calcolare la proiezione di un vettore lungo una determinata componente. Ad esempio, il lavoro $L$ compiuto da una forza costante $\mathbf {F}$ su un corpo che si sposti in direzione $\mathbf {u}$ è il prodotto scalare:

L=\mathbf {F} \cdot \mathbf {u}

dei due vettori.

Applicazioni in geometria

Il teorema del coseno può essere formulato agevolmente usando il prodotto scalare. Dati tre punti $A$ , $B$ , $C$ qualsiasi del piano, vale la relazione seguente:

{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}={\frac {1}{2}}{\Big (}|AB|^{2}+|AC|^{2}-|BC|^{2}{\Big )}

Espressione analitica

Il prodotto scalare è definito in geometria analitica in modo differente: si tratta della funzione che, in un qualsiasi spazio euclideo associa a due vettori $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}]$ e $\mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}]$ il numero:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}

dove $\sum$ denota una sommatoria.

Ad esempio, il prodotto scalare di due vettori tridimensionali [1, 3, −2] e [4, −2, −1] è [1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1×4 + 3×(−2) + (−2)×(−1) = 0.

In questo modo è possibile definire l'angolo $\theta$ compreso fra due vettori in un qualsiasi spazio euclideo, invertendo la formula data sopra, facendo cioè dipendere l'angolo dal prodotto scalare e non viceversa:

\theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}

Notazioni

Spesso il prodotto scalare fra $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ si indica anche come $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$ o come $\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} \right)$ . Utilizzando il prodotto tra matrici e considerando i vettori come matrici $n\times 1$ , il prodotto scalare canonico si scrive anche come:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{T}\mathbf {b}

dove $\mathbf {a} ^{T}$ è la trasposta di $\mathbf {a}$ . L'esempio visto sopra si scrive quindi in notazione matriciale nel modo seguente:

{\begin{bmatrix}1&3&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4\\-2\\-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}}

Equivalenza fra le due definizioni

L'equivalenza fra le due definizioni può essere verificata facendo uso del teorema del coseno. Nella forma descritta sopra, il teorema asserisce che il prodotto scalare di due vettori $\mathbf {a}$ e $\mathbf {b}$ nel piano, definito in modo geometrico, è pari a:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}{\big (}|\mathbf {a} |^{2}+|\mathbf {b} |^{2}-|\mathbf {a} -\mathbf {b} |^{2}{\big )}

Ponendo $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2}]$ e $\mathbf {b} =[b_{1},b_{2}]$ ed usando il teorema di Pitagora si ottiene:

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\frac {1}{2}}{\bigg (}a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}-{\bigg (}(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}{\bigg )}{\bigg )}={\frac {1}{2}}(2a_{1}b_{1}+2a_{2}b_{2})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}

L'equivalenza in uno spazio euclideo di dimensione arbitraria può essere verificata in modo analogo.

Applicazioni

Il prodotto scalare riveste fondamentale importanza sia in fisica che in vari settori della matematica, ad esempio nella classificazione delle coniche, nello studio di una funzione differenziabile intorno ad un punto stazionario, delle trasformazioni del piano o nella risoluzione di alcune equazioni differenziali. Spesso in questi contesti viene fatto uso del teorema spettrale, un importante risultato connesso al prodotto scalare.

Norma di un vettore

Nel piano cartesiano il prodotto scalare permette di definire e trattare la nozione geometrica di lunghezza di un vettore. Tale concetto può essere esteso ad uno spazio vettoriale di dimensione arbitraria introducendo un concetto analogo: la norma. Formalmente, se $K=\mathbb {R}$ ed il prodotto scalare è definito positivo, è possibile dotare lo spazio vettoriale di una norma. Più precisamente, la funzione:

\|\mathbf {x} \|:={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}

soddisfa per ogni vettore $\mathbf {x}$ , $\mathbf {y}$ e per ogni scalare $\lambda$ le proprietà:

$\|\mathbf {x} \|=0$ se e solo se $\mathbf {x} =0$
$\|\lambda \mathbf {x} \|=|\lambda |\|\mathbf {x} \|$
$\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|$

e dunque rende lo spazio vettoriale uno spazio normato.

Matrice associata

In modo analogo alla matrice associata ad una applicazione lineare, fissata una base $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ , un prodotto scalare $\phi$ è identificato dalla matrice simmetrica associata $M$ , definita nel modo seguente:

$M_{i,j}=\phi (\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})\$ ^[4]

D'altro canto, ogni matrice simmetrica dà luogo ad un prodotto scalare.^[5] Molte proprietà del prodotto scalare e della base possono essere lette sulla matrice associata.

Fissata la matrice $M$ , per ogni coppia di vettori colonna $(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ il prodotto scalare è definito dalla legge

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\mathbf {x} ^{T}M\mathbf {y}$

Dove $\mathbf {x} ^{T}$ è il vettore riga $\mathbf {x}$ trasposto.

La matrice scritta rispetto ad una base ortonormale di un certo prodotto scalare è la matrice identità; se la base è ortogonale ma non normalizzata, invece, la matrice sarà semplicemente diagonale.

Radicale

Il radicale di un prodotto scalare è l'insieme dei vettori $\mathbf {v} \in V$ per cui:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0

per ogni $\mathbf {w} \in V$ . Il radicale è un sottospazio vettoriale di $V$ . Il prodotto scalare si dice degenere se il radicale ha dimensione maggiore di zero.

Se $V$ ha dimensione finita e $M$ è la matrice associata a $\phi$ rispetto ad una qualsiasi base, applicando il teorema della dimensione si trova facilmente che:

\operatorname {rank} (M)+\dim(\operatorname {rad} (V))=\dim V

dove $\operatorname {rank} (M)$ è il rango di $M$ e $\operatorname {rad} (V)$ è il radicale. Quindi un prodotto scalare è non degenere se e solo se la matrice associata è invertibile. Si definisce il rango del prodotto scalare come $\operatorname {rank} (M)$ .

Un prodotto scalare definito positivo o negativo è necessariamente non degenere. Non è vero il contrario, infatti il prodotto scalare associato rispetto alla base canonica alla matrice:

A={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\\\end{bmatrix}}

non è degenere, ma non è né definito positivo né definito negativo.

Vettori isotropi

Un vettore $\mathbf {v}$ è isotropo se $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle$ = 0. Tutti i vettori del radicale sono isotropi, ma possono esistere vettori isotropi che non appartengono al radicale. Ad esempio, per il prodotto scalare associato alla matrice $A$ descritta sopra il vettore $[1,1]$ è isotropo ma non è contenuto nel radicale, che ha dimensione zero.

Ortogonalità

Due vettori $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ si dicono ortogonali se $\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =0$ . Il sottospazio ortogonale a $W$ (sottospazio vettoriale di $V$ ) è definito come:

W^{\perp }=\{\mathbf {w} \in V\ |\langle \mathbf {w} ,\mathbf {w} '\rangle =0\ \forall \mathbf {w} '\in W\}

Il sottospazio ortogonale è appunto un sottospazio vettoriale di $V$ . Contrariamente a quanto accade con il prodotto canonico nello spazio euclideo, un sottospazio ed il suo ortogonale non si intersecano in generale in un punto solo (possono addirittura coincidere). Per quanto riguarda le loro dimensioni, vale la seguente disuguaglianza:

\dim W+\dim W^{\perp }\geq \dim V

Se il prodotto scalare è non degenere, vale l'uguaglianza

\dim W+\dim W^{\perp }=\dim V

Infine, se il prodotto scalare è definito positivo o negativo, effettivamente uno spazio e il suo ortogonale si intersecano solo nell'origine e sono in somma diretta. Si ottiene:

W\oplus W^{\perp }=V

Una base ortogonale di vettori di $V$ è una base di vettori a due a due ortogonali. Una base è ortogonale se e solo se la matrice associata al prodotto scalare rispetto a questa base è diagonale.

Trasformazione ortogonale

Una trasformazione ortogonale è una applicazione lineare invertibile $T:V\to V$ in sé che preserva il prodotto scalare, cioè tale che:

\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle =\langle T(\mathbf {v} ),T(\mathbf {w} )\rangle

Teorema di Sylvester

Se $K=\mathbb {R}$ è il campo dei numeri reali e $V$ ha dimensione n, il teorema di Sylvester reale afferma che, dato un prodotto scalare $\phi$ su $V$ , si ha che:

Esiste una base ortogonale di $V$ rispetto a $\phi$ .
Due basi ortogonali per $V$ hanno la stessa segnatura, che dipende quindi solo da $\phi$ .
Due prodotti scalari con la stessa segnatura sono isomorfi.

Quindi la matrice associata è una matrice diagonale avente sulla diagonale solo i numeri 0, 1, e -1, in ordine sparso. Siano $i_{0}$ , $i_{+}$ e $i_{-}$ rispettivamente il numero di volte che compaiono i numeri 0, 1 e -1 sulla diagonale: la terna $(i_{0},i_{+},i_{-})$ è la segnatura del prodotto scalare.

La segnatura è un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno la stessa segnatura.

Il teorema di Sylvester complesso dice invece che esiste sempre una base ortogonale $\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ tale che per ogni $i$ il numero $\langle \mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{i}\rangle$ è uguale a 0 oppure 1. In questo caso, il rango è un invariante completo per l'isometria: due spazi vettoriali complessi con prodotto scalare sono isometrici se e solo se hanno lo stesso rango.

Endomorfismo simmetrico

Un endomorfismo $T:V\to V$ è simmetrico o autoaggiunto rispetto al prodotto scalare se:

\langle T(\mathbf {v} ),\mathbf {w} \rangle =\langle \mathbf {v} ,T(\mathbf {w} )\rangle

per ogni coppia di vettori $\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V$ . Un endomorfismo è simmetrico se e solo se la matrice associata rispetto ad una qualsiasi base ortonormale è simmetrica.

Esempi

Il prodotto scalare canonico fra vettori del piano o dello spazio euclideo è un prodotto scalare definito positivo.
Sia $C([0,1])$ lo spazio vettoriale delle funzioni continue sull'intervallo [0,1], a valori reali. Si può definire un prodotto scalare su $C([0,1])$ ponendo:

\langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(x)g(x)dx

Questo prodotto scalare è definito positivo, perché l'integrale di

f^{2}

è strettamente positivo se

f

non è costantemente nulla.

Si può definire sullo spazio vettoriale $M([0,1])$ delle funzioni misurabili a valori reali lo stesso prodotto scalare del punto precedente. Qui il prodotto scalare è solo semidefinito positivo: infatti se $f$ è la funzione che vale 1 su 1/2 e 0 su tutto il resto, l'integrale di $f^{2}$ è zero ( $f$ è isotropa).

Note

^ ^a ^b Hoffman, Kunze, Pag. 271.
^ S. Lang, Pag. 185.
^ S. Lang, Pag. 151.
^ Questo rimane vero per una generica forma bilineare, di cui i prodotti scalari sono solo un particolare tipo.
^ Ciò è vero solo se si considerano prodotti scalari validi anche quelli degeneri e che non sono definiti positivi per ogni coppia di vettori non nulli.

Bibliografia

Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
(EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
(EN) Arfken, G. "Scalar or Dot Product." §1.3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 13–18, 1985.
(EN) Jeffreys, H. and Jeffreys, B. S. "Scalar Product." §2.06 in Methods of Mathematical Physics, 3rd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 65–67, 1988.