נגזרת חלקית

בחשבון אינפיניטסימלי, נִגְזֶרֶת חֶלְקִית של פונקציה בכמה משתנים היא נגזרת של הפונקציה באחד ממשתניה, כאשר מתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים. סימן הנגזרת החלקית ∂ הוא האות d המעוגלת, היא נקראת "די מסולסלת", "d עגולה" או "די" (כך נכתבת האות d קטנה בכתב לטיני-אנגלי ישן).

סימונים מקובלים נוספים לנגזרת החלקית על פי $\!\,x_{k}$ הם $\!\,f_{x_{k}},f_{x_{k}}^{'}$ וכן $\ \partial _{x_{k}}f\ \ ,\ \ \partial _{k}f$ כאשר $\ \partial _{x_{k}}$ הוא אופרטור גזירה חלקית לפי המשתנה $\ x_{k}$.

הנגזרת החלקית השניה לפי $x_{i}$ ו-$x_{j}$ היא הנגזרת החלקית לפי $x_{i}$ של הנגזרת החלקית לפי $x_{j}$. כך אפשר להגדיר נגזרות חלקיות מכל סדר.

דוגמאות

1. נביט בפונקציה $\!\,f(x,y)=x^{y}$. אם מסתכלים על הפונקציה בתור פונקציה של $\!\,x$ בלבד, כאשר $\!\,y$ קבוע, זוהי פונקציה של פולינום. לעומת זאת, כאשר מסתכלים עליה בתור פונקציה של $\!\,y$ ועל $\!\,x$ בתור קבוע, זוהי פונקציה מעריכית. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: $\!\,{\frac {\partial f}{\partial x}}=yx^{y-1},{\frac {\partial f}{\partial y}}=\ln x\cdot x^{y}$.
2. נתבונן בפונקציה $\!\,f(x,y)=x$. לכאורה זוהי פונקציה במשתנה אחד, אך ניתן גם להתייחס אליה כפונקציה מרובת משתנים, כאשר היא קבועה לכל משתנה שאינו $\!\,x$. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: $\!\,{\frac {\partial f}{\partial x}}=1,{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$.

מרחבי פונקציות

בדומה להיררכיה של פונקציות ממשיות במשתנה אחד, אפשר למיין גם פונקציות בכמה משתנים.

• יש פונקציות רציפות בנקודה ללא נגזרות חלקיות, ופונקציות בעלות נגזרות חלקיות בנקודה שאינן רציפות.
• פונקציה דיפרנציאבילית בנקודה היא רציפה, ויש לה נגזרות חלקיות בנקודה זו לפי כל משתנה.
• פונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בנקודה, היא דיפרנציאבילית (אבל יש פונקציות דיפרנציאביליות שהנגזרות החלקיות שלהן אינן רציפות). הדיפרנציאל של f הוא התבנית $\!\,{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}dx_{n}$.
• אם פונקציה בשני משתנים F היא בעלת נגזרות חלקיות שניות רציפות בנקודה, אז הגזירות החלקיות מתחלפות: ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}$. בכיוון ההפוך, אם P,Q הן פונקציות בעלות נגזרות חלקיות רציפות בנקודה, ומתקיים ${\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}$, אז קיימת פונקציה F (בעלת נגזרות חלקיות שניות רציפות בנקודה) שהדיפרנציאל שלה הוא $dF=Pdx+Qdy$. עובדות אלו ניתנות כולן להכללה לכמה משתנים.

שימושים

באנליזה וקטורית ובפיזיקה הנגזרת החלקית משמשת לאנליזה מתמטית של פונקציות המוגדרות מעל מרחב וקטורי, ומציאת תכונות שונות של אותן פונקציות. נגזרת חלקית משמשת לכתיבת משוואות דיפרנציאליות חלקיות. בדרך כלל הנגזרות החלקיות יצורפו לאופרטור דיפרנציאלי, כמו גרדיאנט, דיברגנץ או רוטור.

• הגרדיאנט של פונקציה בנקודה מסוימת הוא וקטור הנגזרות החלקיות שלה באותה נקודה. הגרדיאנט בנקודה $\ a$ כלשהי יוגדר כך:

$\operatorname {grad} f(a)={\vec {\nabla }}f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)$

• הדיברגנץ של פונקציה וקטורית $\ {\vec {f}}$ (ב-Rⁿ) הוא פונקציה (ב-R¹) המודדת את קצב השינוי במאונך לצירים. במערכת צירים קרטזית הדיברגנץ הוא מכפלה פנימית בין אופרטור הגרדיאנט לפונקציה הווקטורית:

$\ {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {f}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial {x_{i}}}}$.

• הרוטור הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של שדה וקטורי להסתובב סביב נקודה מסוימת. במערכת קרטזית:

$\ \operatorname {curl} \left({\vec {F}}\right)=\operatorname {rotor} \left({\vec {F}}\right)={\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right){\hat {x}}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right){\hat {y}}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right){\hat {z}}$.

ראו גם

• נגזרת
• נגזרת כיוונית
• אנליזה וקטורית
• אינטגרל כפול

קישורים חיצוניים

• נגזרת חלקית, באתר MathWorld (באנגלית)
• נגזרת חלקית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)