ממוצע

במתמטיקה, ממוצע הוא מספר שמחושב מתוך סדרה סופית של מספרים, ומשמש כמדד מיקום מרכזי. השיטה הנפוצה ביותר, שאליה מתכוונים לרוב כאשר אומרים "ממוצע", היא הממוצע החשבוני, והוא מחושב כסכום המספרים מחולק במספר במספרים. לדוגמה, הממוצע החשבוני של המספרים 5,6,7,8,4 הוא הסכום שלהם 4+5+6+7+8 = 30, המחולק במספרם (5), כלומר 6 = 5÷30. אם כך, הממוצע החשבוני של מספרים אלו הוא 6.

בנייה גאומטרית של ממוצעים נפוצים (עבור 2 ערכים בלבד): עבור שני קטעים a ו-b, בונים חצי מעגל שקוטרו הוא הקטע הבנוי משני קטעים אלה.

• הממוצע החשבוני של אורכי הקטעים a ו-b הוא אורכו של רדיוס המעגל (הקטע AO).
• הממוצע ההנדסי הוא אורכו של האנך לקוטר ממפגש הקטעים a ו-b עד שפת המעגל (הקטע GH).
• הממוצע ההרמוני הוא אורכו של היטל הקטע GH על היתר OH במשולש HGO (הקטע HD).

ממוצעים אלו נקראים בהכללה "הממוצעים הפיתגוריים".

פרט לממוצע החשבוני, קיימים סוגים נוספים של ממוצעים כגון ממוצע גאומטרי, ממוצע הרמוני. כל ממוצע מדגיש היבט שונה של סדרת הנתונים, והבחירה בממוצע המתאים תלויה בהקשר ובמטרת הניתוח.

תכונות כלליות

ישנן כמה תכונות שמתקיימות לכל הממוצעים:

• הממוצע קטן מהמספר הגדול ביותר וגדול מהמספר הקטן ביותר (אלא אם כן כולם שווים, ואז גם הוא שווה להם).
• מונוטוניות ורציפות: הממוצע צריך להיות פונקציה עולה ורציפה בכל אחד מהמשתנים. כלומר, אם מגדילים את אחד המספרים באופן רציף גם הממוצע גדל באופן רציף.
• סימטריות: אין חשיבות לסדר המספרים.
• הומוגניות: הכפלת כל המספרים במספר מסוים, גוררת הכפלה של הממוצע באותו מספר.

ממוצע חשבוני (ממוצע אריתמטי)

ערך מורחב – ממוצע חשבוני

הממוצע החשבוני ${\bar {x}}$ של סדרת מספרים $x_{1},x_{2},\ldots x_{n}\,$ הוא ה"ממוצע" המקובל והנפוץ ביותר' ומוגדר כסכום המספרים בסדרה, מחולק באורך הסדרה $n$, כלומר:

$${\bar {x}}={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}} \over n}={\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}$$

הממוצע של סדרת ערכים מאופיין בכך שסכום ריבועי המרחקים שלו מן הערכים בסדרה הוא הקטן ביותר. הממוצע החשבוני של הערכים הוא מדד למרכז הנתונים אך אינו משקף את אופן התפלגותם. דוגמה: לערכים {1,2,2,2,3,9}, הממוצע החשבוני הוא 3.17, אבל חמישה מתוך ששת הערכים קטנים ממנו. כדי לקבל מידע על ה"פיזור" של המספרים, משתמשים בסטיית תקן.

ממוצע הנדסי (ממוצע גאומטרי)

ערך מורחב – ממוצע גאומטרי

ממוצע הנדסי של סדרת ערכים חיוביים הוא מכפלת הערכים, בחזקת המספר ההופכי למספר הערכים:

$${\bar {x}}={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}$$ לממוצע ההנדסי תכונה דומה לזו של הממוצע החשבוני: מכפלתה של קבוצת מספרים אינה משתנה אם מחליפים כל אחד מהמספרים במכפלה בממוצע ההנדסי של המספרים שבקבוצה.

ממוצע הרמוני

ערך מורחב – ממוצע הרמוני

ממוצע הרמוני של סדרת ערכים מוגדר בתור:

$${\bar {x}}={\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n}{{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\dotsb +{1 \over x_{n}}}}$$

כאשר הערכים הנתונים חיוביים, הממוצע ההרמוני יכול להיות שווה לממוצעים החשבוני וההנדסי או נמוך מהם אך לא גבוה מהם.

דוגמה לבעיה שלפתרונה משמש ממוצע הרמוני: אדם נסע מתל אביב לחיפה במהירות של 90 קמ"ש, ואת הדרך חזרה עשה במהירות של 60 קמ"ש. מה הייתה מהירותו הממוצעת? ממוצע אריתמטי של המהירויות יוביל אותנו לתשובה 75 קמ"ש, אך תשובה זו שגויה, שכן הנסיעה חזרה ארכה זמן רב יותר. לשם הבהרת הבעיה, נניח שהמרחק בין שתי הערים הוא 90 ק"מ. את הדרך לשם עשה האיש בשעה, ואת הדרך חזרה עשה בשעה וחצי. בשעתיים וחצי עבר האיש מרחק של 180 ק"מ, ולכן מהירותו הממוצעת היא 72 קמ"ש. אל תוצאה זו יוביל אותנו הממוצע ההרמוני.

דוגמה נוספת היא חיבור נגדים במקביל. בהינתן מספר נגדים המחוברים במקביל, ההתנגדות השקולה שלהם היא הממוצע ההרמוני של ערכי התנגדויותיהם, חלקי מספר הנגדים.

שורש ממוצע הריבועים

ערך מורחב – שורש ממוצע הריבועים

שורש ממוצע הריבועים (או ממוצע RMS) כפי ששמו מרמז, הוא השורש של ממוצע (חשבוני) של ריבועי הערכים:

$x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}} \over n}}$

ערכו משמש לתיאור ממוצע הגודל של פונקציה או של סדרת ערכים ויש לו שימושים סטטיסטיים ופיזיקליים.

ממוצע משוקלל

ערך מורחב – ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הוא ממוצע חשבוני שבו לערכים שונים ניתנת חשיבות (משקל) שונה. בהינתן סדרה של ערכים $\ x_{1},\dots ,x_{n}$ ומשקלים $\ w_{1},\dots ,w_{n}$ הממוצע המשוקלל מוגדר כך:

$$\ {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}\cdot x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}={\frac {w_{1}\cdot x_{1}+w_{2}\cdot x_{2}+\dotsb +w_{n}\cdot x_{n}}{w_{1}+w_{2}+\dotsb +w_{n}}}$$ הממוצע החשבוני הוא מקרה פרטי של הממוצע המשוקלל כאשר כל המשקלות שווים זה לזה.

תוחלת היא ממוצע משוקלל. לדוגמה עבור תוחלת של משתנה מקרי בדיד, המשקולות הן ההסתברויות שתואמות לערכים $w_{i}=P(x_{i})$. מכיוון ש-${\textstyle \sum _{i=1}^{n}P(x_{i})=1}$ מתקיים:

$$\ E(x)={\frac {\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})\cdot x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})}}=\sum _{i=1}^{n}P(x_{i})\cdot x_{i}$$

אי שוויון הממוצעים

ערך מורחב – אי-שוויון הממוצעים

ידוע כי בהינתן סדרת מספרים חיוביים $\ x_{1},\dots ,x_{n}$, הממוצע החשבוני שלהם תמיד גדול או שווה לממוצע ההנדסי, והלה גדול או שווה לממוצע ההרמוני שלהם. כלומר: $${\frac {x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\dotsb x_{n}}}\geq {\frac {n}{{1 \over x_{1}}+{1 \over x_{2}}+\dotsb +{1 \over x_{n}}}}$$

ממוצע של פונקציה

הערך הממוצע של פונקציה ממשית בקטע מהווה הכללה לממוצע החשבוני של אוסף מספרים סופי. הערך מתקבל מהגבול של חישוב הממוצע על פני אוסף הולך וגדל של ערכי הפונקציה. הממוצע הוא: $${\overline {f}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx$$

לפונקציות אי-שליליות, הערך הממוצע ${\overline {f}}$ מקיים שהשטח מתחת למלבן שאורכו כאורך הקטע וגובהו ${\overline {f}}$ שווה לשטח מתחת לגרף הפונקציה.

הערך הממוצע של השיפוע של פונקציה בקטע הוא שיפוע הישר מחבר את הערכים בקצות הקטע (ראו משפט הערך הממוצע של לגראנז'). אם נביט על הפונקציה f שאת הממוצע שלה מחפשים כנגזרת (קצב השינוי הרגעי) של הפונקציה הקדומה שלה F, הרי שהממוצע של f הוא ממוצע על כל קצבי השינוי הרגעיים של F, השווה לקצב השינוי הממוצע של F. קצב השינוי הממוצע של F שווה לשינוי ב-F (הנתון על ידי האינטגרל המסוים של F בקטע הרצוי) חלקי השינוי במשתנה x, ומכאן הגדרת הממוצע של פונקציה.

ראו גם

• מדד מיקום מרכזי
• ממוצע אריתמטי-גאומטרי
• ממוצע מוכלל

קישורים חיצוניים

• יוסי לוי, ממוצע משוקלל – איך ולמה, באתר "נסיכת המדעים"