חיתוך (מתמטיקה)

ערך זה עוסק בחיתוך, במובנו הכללי ביותר בתורת הקבוצות. אם התכוונתם לחיתוך של אובייקטים גאומטריים, ראו חיתוך (גאומטריה).

בתורת הקבוצות ובענפים אחרים במתמטיקה, החיתוך של שתי קבוצות $A$ ו- $B$ הוא הקבוצה המכילה את כל האיברים ב- $A$ ששייכים גם ל- $B$ (או באופן שקול, כל האיברים ב- $B$ ששייכים גם ל- $A$ ), ורק אותם. החיתוך של $A$ ו- $B$ נכתב בדרך כלל כך: $A\cap B$ .

מבחינה פורמלית:

x\in A\cap B

(

x

הוא איבר ב-

A\cap B

) אם ורק אם

x\in A

וגם

x\in B

.

חיתוך כלשהו

בדומה לאיחוד ולפעולות אחרות בתורת הקבוצות, אפשר להגדיר את החיתוך של משפחה כלשהי של קבוצות. נניח כי $\left\{A_{i}\right\}_{i\in \Lambda }$ היא משפחה של קבוצות (כלומר, קבוצה של קבוצות שכל אחת מזוהה על ידי אינדקס $i$ השייך לקבוצת אינדקסים $\Lambda$ ), אז החיתוך שלהן יסומן $\bigcap _{i\in \Lambda }A_{i}$ , והגדרתו היא ש- $x\in \bigcap _{i\in \Lambda }A_{i}$ אם ורק אם לכל $k\in \Lambda$ מתקיים $x\in A_{k}$ .

אם קבוצת האינדקסים $\Lambda$ ריקה, אומרים שהחיתוך הוא חיתוך ריק, השווה כביכול לקבוצה האוניברסלית שכל דבר הוא איבר שלה. על-מנת להבטיח שהחיתוך יהיה קבוצה, מגדירים את החיתוך של משפחת קבוצות בתוך מרחב נתון $X$ , ואז החיתוך של משפחה ריקה שווה, כעניין שבהגדרה, למרחב $X$ כולו.

דוגמאות

אם $A=\left\{t,2,3,4\right\},B=\left\{4,5,r,t\right\}$ אז $A\cap B=\left\{t,4\right\}$
אם $B\subseteq A$ ( $B$ הוא קבוצה חלקית של $A$ ) אז $A\cap B=B$ .
אם $B=\emptyset$ (קבוצה ריקה) אז לכל $A$ מתקיים $A\cap B=\emptyset$ . (זהו מקרה פרטי של המקרה הקודם).
אם $A_{n}=\left\{1,2,\dots ,n\right\}$ אז $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\left\{1\right\}$ .
בדוגמאות הבאות נשתמש גם בפעולת האיחוד:
- בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $A_{n}$ , אז הקבוצה $\bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcap _{k\geq n}A_{k}$ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים בכל הקבוצות החל מאינדקס $n$ כלשהו.
- בהינתן סדרה בת מנייה של קבוצות $A_{n}$ , אז הקבוצה $\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k\geq n}A_{k}$ היא קבוצת כל האיברים שמופיעים במספר אינסופי של קבוצות.