Matriisin aste

Lineaarialgebrassa matriisin aste on eräs tärkeimpiä matriisia kuvaavia tunnuslukuja, ja sen avulla voidaan luonnehtia matriisia vastaavien lineaaristen yhtälöryhmien pelkistymättömyyttä. Matriisin asteella on monia yhtäpitäviä määritelmiä, esim. matriisin lineaarisesti riippumattomien sarakkeiden suurin lukumäärä. Matriisin A astetta merkitään yleisesti rank(A).

Määritelmiä

Matriisin A aste on A:n sarekeavaruuden eli sarakkeiden virittämän vektoriavaruuden dimensio. Tämä luku on A:n lineaarisesti riippumattomien sarakevektoreiden suurin mahdollinen lukumäärä. Koska jokaisen matriisin sarake- ja riviavaruudella on sama dimensio, voidaan A:n aste yhtäpitävästi määritellä myös A:n riviavaruuden dimensiona.

Yleisesti lineaarikuvauksen $f\colon V\to W$aste määritellään kuva-avaruuden $\{f(v):v\in V\}$dimensiona. Tällöin matriisin A aste on sama kuin lineaarikuvauksen $v\mapsto Av$ aste.

Matriisin A aste voidaan määrittää myös alideterminanttien avulla. A:n aste on r > 0 jos ja vain jos matriisilla A on ainakin yksi r x r alimatriisi, jonka determinantti ei ole nolla, ja jokaisen (r + 1) x (r + 1) alimatriisin determinantti on nolla.

Esimerkkejä

Matriisin

A = ${\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}$

kaksi ensimmäistä riviä ovat lineaarisesti riippumattomia, joten sen aste on vähintään 2. Toisaalta kaikki kolme riviä ovat lineaarisesti riippuvia (ensimmäinen on toisen ja kolmannen rivin summa), joten A:n aste on alle 3. Näin ollen rank(A) = 2.

Matriisin

B = ${\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix}}$

aste on vähintään 1, koska matriisissa on nollasta poikkeavia sarakkeita. Aste on pienempi kuin 2, koska jokainen sarakepari on lineaarisesti riippuva. Näin ollen rank(B) = 1.

Matriisin asteen laskeminen

Yleinen tapa laskea matriisin aste on muuttaa se yksinkertaisempaan porrasmuotoon alkeisrivitoimituksien avulla. Alkeisrivitoimitukset eivät muuta matriisin riviavaruutta ja siten matriisin aste pysyy samana. Porrasmuotoisen matriisin aste on joko nollasta poikkeavien rivien tai perussarakkeiden määrä, jotka ovat yhtä suuret.

Esimerkiksi matriisi

$A={\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}$

voidaan muuttaa porrasmuotoon käyttämällä seuraavia alkeisrivitoimituksia:

${\begin{bmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{bmatrix}}R_{2}\rightarrow 2r_{1}+r_{2}{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{bmatrix}}R_{3}\rightarrow -3r_{1}+r_{3}{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{bmatrix}}R_{3}\rightarrow r_{2}+r_{3}{\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}R_{1}\rightarrow -2r_{2}+r_{1}{\begin{bmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{bmatrix}}$.

Viimeisessä matriisissa (joka on porrasmuodossa) on kaksi nollasta poikkeavaa riviä, joten sen aste on 2.

Ominaisuuksia

Oletetaan, että A on m × n matriisi ja määritellään lineaarikuvaus f, jossa f(x) = Ax kuten yllä.

• Matriisin m × n aste on ei-negatiivinen kokonaisluku, eikä voi olla suurempi kuin m tai n. Matriisia, jonka aste on suurin mahdollinen, sanotaan täysiasteiseksi.
• Vain nollamatriisin aste on 0.
• rank(A) = rank(A^T)
• f on injektio jos ja vain jos A:n aste on n (eli A:lla on täysi sarakeaste).
• f on surjektio jos ja vain jos A:n aste on m (eli A:lla on täysi riviaste).
• Jos A on neliömatriisi (eli m = n), niin A on kääntyvä matriisi jos ja vain jos A:n aste on n (eli A on täysiasteinen).
• Jos B on jokin n × k matriisi niin

$\operatorname {rank} (AB)\leq \min(\operatorname {rank} \ A,\operatorname {rank} \ B).$

• Jos B on n × k matriisi, jonka aste on n niin

$\operatorname {rank} (AB)=\operatorname {rank} (A).$

• Jos C on l × m matriisi, jonka aste on m niin

$\operatorname {rank} (CA)=\operatorname {rank} (A).$

• Matriisin A aste on yhtä suuri kuin r jos ja vain jos on olemassa kääntyvä m × m matriisi X ja kääntyvä n × n matriisi Y niin, että

$XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix}},$

jossa I_r tarkoittaa r × r yksikkömatriisia.

Sovelluksia

Matriisin astetta käytetään esimerkiksi lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärän löytämisessä. Rouche-Capellin teoreeman mukaan yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua jos laajennetun kerroinmatriisin aste on suurempi kuin yhtälöryhmää vastaavan kerroinmatriisin aste. Jos taas näiden matriisien asteet ovat yhtä suuret, on yhtälöryhmällä ainakin yksi ratkaisu. Ratkaisuja on vain yksi jos ja vain jos aste on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä. Muulloin yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua.