Axioma de elección numerable

Cada conjunto en la secuencia numerable de conjuntos (S_i) = S₁, S₂, S₃, ... contiene un número de elementos no nulo, y posiblemente infinito (o incluso un infinito no numerable). El axioma de elección numerable permite elegir arbitrariamente un único elemento de cada conjunto, formando una secuencia de elementos (x_i) = x₁, x₂, x₃, ...

El axioma de elección numerable o axioma de elección contable, denotado AC_ω, es un axioma de teoría de conjuntos que afirma que toda colección numerable de conjuntos no vacíos debe tener una función de elección. Esto es, dada una función A con dominio N (donde N denota el conjunto de los números naturales) tal que A(n) es un conjunto no vacío para todo n ∈ N, entonces existe una función f con dominio N tal que f(n) ∈ A(n) para todo n ∈ N.

El axioma de elección numerable (AC_ω) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), (Jech, 1973) que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). Paul Cohen demostró que el AC_ω, no se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección (Potter, 2004). AC_ω se cumple en el modelo de Solovay.

ZF + AC_ω es suficiente para probar que la unión de una cantidad numerable de conjuntos numerables es numerable. También es suficiente para probar que todo conjunto infinito es infinito-Dedekind (equivalentemente, que tiene un subconjunto infinito numerable).

AC_ω es particularmente útil para el desarrollo del análisis, donde muchos resultados dependen de tener una función de elección para una colección numerable de conjuntos de números reales. Por ejemplo, para probar que todo punto de acumulación x de un conjunto S ⊆ R es el límite de una sucesión de elementos de S \ {x}, se necesita una forma débil del axioma de elección numerable. Al formularse para puntos de acumulación de espacios métricos arbitrarios, esta afirmación es equivalente al AC_ω. Se pueden encontrar otras afirmaciones equivalentes a AC_ω en los trabajos de Herrlich (1997) y Howard y Rubin (1998).

Un error habitual es pensar que la elección numerable tiene una naturaleza inductiva y se puede por tanto probar como un teorema (en ZF, o incluso en sistemas más débiles) por inducción. Sin embargo, no es el caso; este error es el resultado de confundir elección numerable con elección finita para un conjunto finito de tamaño n (para n arbitrario), y es este último resultado (que es un teorema elemental en combinatoria) el que se puede probar por inducción. Sin embargo, se puede probar que algunos conjuntos infinitos numerables de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma del axioma de elección. Estos incluyen V_ω− {Ø} y el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números naturales con extremos racionales.

Uso

Como ejemplo de aplicación de AC_ω, se muestra una prueba (partiendo de ZF + AC_ω) de que todo conjunto infinito es infinito-Dedekind:

Sea X un conjunto infinito. Para cada número natural n, sea A_n el conjunto de todos los subconjuntos de X de 2ⁿ elementos. Dado que X es infinito, cada A_n es no vacío. Una primera aplicación de AC_ω lleva a una sucesión (B_n : n = 0,1,2,3,...) donde cada B_n es un subconjunto de X con 2ⁿ elementos.

Los conjuntos B_n no son necesariamente disjuntos, pero se puede definir

C₀ = B₀

C_n = la diferencia de B_n y la unión de todos los C_j, j < n.

Claramente, cada conjunto C_n tiene al menos 1 y como mucho 2ⁿ elementos, y los conjuntos C_n son disjuntos dos a dos. Una segunda aplicación de AC_ω lleva a una sucesión (c_n: n = 0,1,2,...) con c_n ∈ C_n.

Luego los c_n son todos diferentes, y por tanto X contiene un conjunto numerable. La función que lleva cada c_n a c_n+1 (y deja el resto de elementos de X fijos) es una aplicación inyectiva de X en X que no es suprayectiva, probando que X es infinito-Dedekind.

Referencias

• The Axiom of Choice. North Holland. 1973. 
• «Choice principles in elementary topology and analysis». Comment.Math.Univ.Carolinae 38 (3): 545-545. 1997. 
• Howard, Paul; Rubin, Jean E. (1998). «Consequences of the axiom of choice». Providence, R.I. (American Mathematical Society). 
• Set Theory and its Philosophy : A Critical Introduction. Oxford University Press. 2004. p. 164. ISBN 9780191556432. 

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• Datos: Q1000116