Quadratfreie Zahl

Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung $n=p_{1}\cdots p_{k}$ einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf.

Beispielsweise ist die Zahl 6 = 2·3 quadratfrei, während 54 = 2·3²·3 nicht quadratfrei ist. Die ersten 20 quadratfreien Zahlen sind

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, … (Folge A005117 in OEIS)

Eigenschaften

Die Möbiusfunktion $\mu (n)$ an der Stelle $n$ ist genau dann ungleich 0, wenn $n$ quadratfrei ist.

Aus dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt sofort, dass eine endliche abelsche Gruppe mit quadratfreier Ordnung stets zyklisch ist.

Eine Zahl $n$ ist genau dann quadratfrei, wenn der Restklassenring $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ reduziert ist, das heißt, wenn außer der Null kein nilpotentes Element enthalten ist.

Die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl quadratfrei ist, ist ${\tfrac {1}{\zeta (2)}}={\tfrac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\,\%$, wobei $\zeta$ die Riemannsche ζ-Funktion ist. Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine gleichverteilt aus $\{1,\dots ,N\}$ gewählte natürliche Zahl quadratfrei ist, konvergiert für $N\rightarrow \infty$ gegen ${\tfrac {1}{\zeta (2)}}$.

Allgemeine Definition

Ein von 0 verschiedenes Element $x$ eines faktoriellen Rings heißt quadratfrei, wenn in seiner bis auf Reihenfolge und Multiplikation mit Einheiten des Rings eindeutigen Primfaktorisierung $x=\varepsilon \cdot p_{1}^{\alpha _{1}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha _{k}}$ (wobei $\varepsilon$ eine Einheit des Rings ist) alle von Null verschiedenen Exponenten $\alpha _{i}$ gleich 1 sind.

Es sei $P(x)\in K[X]$ und $P'(x)$ die formale Ableitung, dann ist $P(x)$ quadratfrei, wenn ${\text{ggT}}(P(x),P'(x))=1$ ist. Somit ist für beliebiges $P(x)$ das Polynom $P(x)/{\text{ggT}}(P(x),P'(x))$ immer quadratfrei.

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. 2. Auflage. Springer Verlag, 2011, ISBN 978-3-642-18078-1. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Quadratfreie Zahl. In: MathWorld (englisch).