Jensensche Formel

In der Mathematik gibt die Jensensche Formel eine Formel für die Integration einer analytischen Funktion über den Rand eines Kreises. Die Formel ist nach dem dänischen Mathematiker Johan Ludwig Jensen benannt, der sie 1899 erstmals beschrieb.

Sie ist von grundlegender Bedeutung in der Nevanlinna-Theorie (Wertverteilungstheorie).

Formel

Sei $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ eine analytische Funktion und seien $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ihre Nullstellen in der Kreisfläche $D_{r}=\left\{z\in \mathbb {C} :|z|<r\right\}$ für ein $r>0$. Dann gilt

$\log |f(0)|=\sum _{k=1}^{n}\log {\frac {|a_{k}|}{r}}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |f(re^{i\theta })|\,d\theta .$

Falls $f$ in $D_{r}$ keine Nullstellen hat, erhält man den Mittelwertsatz von Gauß für die harmonische Funktion $\log |f(z)|$.

Beispiel: Polynome

Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lässt sich jedes Polynom über $\mathbb {C}$ zerlegen als

$p(z)=a\prod _{i=1}^{d}(z-\alpha _{i})$.

Aus der Jensenschen Formel folgt dann mit $r=1$:

$\log |a|+\sum _{i=1}^{d}\,\log(\max(|\alpha _{i}|,1))={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log |p(e^{i\theta })|\,d\theta .$

Beispiel: $p(z)=z^{2}-z+1$ lässt sich zerlegen als $p(z)=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})$ mit $\alpha _{1,2}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i$. Wegen $|\alpha _{1}|=|\alpha _{2}|=1$ folgt daraus

$\int _{0}^{2\pi }\log |p(e^{i\theta })|\,d\theta =0$.

Literatur

• J. Jensen: Sur un nouvel et important théorème de la théorie des fonctions. In: Acta Mathematica. (Springer Netherlands) 22, 1899, S. 359–364. (französisch)
• P. Borwein, T. Erdélyi: Jensen’s Formula. §4.2.E.10c In: Polynomials and Polynomial Inequalities. Springer-Verlag, New York 1995, ISBN 0-387-94509-1, S. 187.
• S. G. Krantz: Jensen’s Formula. §9.1.2 In: Handbook of Complex Variables. Birkhäuser, Boston MA 1999, ISBN 3-7643-4011-8, S. 117–118.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Jensen’s Formula. In: MathWorld (englisch).