iBet uBet web content aggregator. Adding the entire web to your favor.
iBet uBet web content aggregator. Adding the entire web to your favor.



Link to original content: http://cs.wikipedia.org/wiki/Regulární_matice
Regulární matice – Wikipedie Přeskočit na obsah

Regulární matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Regulární[1], též invertibilní nebo nesingulární matice je v matematice čtvercová matice, která má inverzi. Regulární matice lze charakterizovat několika rovnocennými způsoby. Regulární matice jsou například charakterizovány tím, že lineární zobrazení, které popisují, jsou bijektivní. Proto má soustava lineárních rovnic s regulární maticí soustavy vždy jednoznačné řešení. Množina regulárních matic pevné velikosti nad okruhem nebo nad tělesem, spolu s maticovým součinem jako binární operace, tvoří obecnou lineární grupu.

Ne každá čtvercová matice má inverzi. Čtvercová matice, která nemá inverzní matici, se nazývá singulární matice.[1]

Čtvercová matice s prvky z okruhu s jednotkovým prvkem (v praxi většinou obor reálných čísel ) se nazývá regulární, pokud existuje matice taková, že

,

kde označuje jednotkovou matici . Matice je zde jednoznačně určena a nazývá se inverzní matice k matici . Inverzní matice se obvykle značí . Pro singulární matici žádná taková matice neexistuje.

Je komutativní okruh nebo těleso, jsou obě podmínky a ekvivalentní, tj., matice inverzní zleva je inverzní i zprava a naopak. V tomto případě lze podmínku oslabit na nebo .

Reálné matice

[editovat | editovat zdroj]

Matice

je regulární, protože má inverzní matici

,

neboť

.

Na druhou stranu, matice

je singulární, protože pro jakoukoli matici

platí

.

Matice nad okruhy

[editovat | editovat zdroj]

Matice

s prvky z polynomiálního okruhu determinant:

Protože prvek je invertovatelný v okruhu , je i matice regulární v . S pomocí adjungované matice lze určit její inverzní matici:

.

Matice

s prvky z okruhu zbytkových tříd má determinant:

Protože prvek je invertovatelný v , je matice regulární v . Její inverzní matice je

.

Naopak matice

s prvky z téhož okruhu zbytkových tříd má determinant:

Čísla a jsou soudělná, a proto v nemá inverzní prvek, a proto je matice singulární.

Alternativní definice

[editovat | editovat zdroj]

Regulární matice nad tělesem

[editovat | editovat zdroj]

Pro čtvercovou matici řádu nad tělesem , například nad reálnými nebo komplexními čísly, jsou následující podmínky ekvivalentní

(tj. buď jsou všechna pravdivá, nebo všechna nepravdivá pro danou matici):

  • Matice je regulární, čili existuje matice taková, že .
  • Existuje matice taková, že .
  • Determinant matice je nenulový: .
  • Nula není vlastní číslo matice .
  • Soustava lineárních rovnic má pouze triviální řešení .
  • Pro každé existuje alespoň jedno řešení soustavy lineárních rovnic .
  • Pro každé existuje nejvýše jedno řešení soustavy lineárních rovnic .
  • Řádkové vektory jsou lineárně nezávislé.
  • Řádkové vektory generují .
  • Sloupcové vektory jsou lineárně nezávislé.
  • Sloupcové vektory generují .
  • Lineární zobrazení dané předpisem je prosté (injektivní).
  • Lineární zobrazení dané předpisem je surjektivní.
  • Transponovaná matice je regulární.
  • má plnou hodnost, neboli .
  • Matici lze převést ekvivalentními řádkovými úpravami na jednotkovou matici .
  • Matici lze převést ekvivalentními řádkovými úpravami do odstupňovaného tvaru s pivoty.
  • Matici lze vyjádřit jako konečný součin elementárních matic.

Regulární matice nad jednotkovým komutativním okruhem

[editovat | editovat zdroj]

Obecněji řečeno, pro čtvercovou matici řádu s prvky z komutativního okruhu s jedničkou jsou následující podmínky ekvivalentní:

  • Matice je regulární, čili existuje matice taková, že .
  • Determinant matice má v okruhu inverzní prvek.
  • Pro všechny existuje právě jedno řešení soustavy lineárních rovnic .
  • Pro všechny existuje alespoň jedno řešení soustavy lineárních rovnic .
  • Řádkové vektory tvoří bázi .
  • Řádkové vektory generují .
  • Sloupcové vektory tvoří bázi .
  • Sloupcové vektory generují .
  • Lineární zobrazení dané předpisem , je surjektivní.
  • Transponovaná matice je inverzní.

Podstatný rozdíl oproti tělesu spočívá v tom, že obecně surjektivita (a tedy i bijektivita) nevyplývá z injektivity lineárního zobrazení - například u zobrazení , daného předpisem .

Pro singulární matici není splněna žádná z výše uvedených podmínek.

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Množina singulárních reálných matic řádu je nulová množina, neboli má Lebesgueovu míru nula. To plyne z toho, že singulární matice jsou kořeny funkce determinantu a ta je spojitá, neboť se jedná o polynom v prvcích matice. V jazyce teorie míry jsou proto téměř všechny matice řádu regulární.

Kromě toho tvoří regulární matice řádu hustou otevřenou množinou v topologickém prostoru všech matic řádu . Množina singulárních matic je naopak uzavřená a řídká.

V praxi se však můžeme setkat se singulárními maticemi. V numerických výpočtech se mohou vyskytnout problematické matice, které jsou sice regulární, ale blízké singulární matici. Takové matrice se nazývají špatně podmíněné.

Počet regulárních matic nad tělesem zbytkových tříd

[editovat | editovat zdroj]

Matice s prvky z tělesa zbytkových tříd s prvočíslem je regulární právě tehdy, když jsou řádkové vektory lineárně nezávislé.

Pro těleso lze počet regulárních matic řádu vypočítat takto:

  • Každý z prvků 1. řádku může nezávisle nabývat dvou hodnot. Nulový vektor je vyloučen. Pro 1. řádek proto existuje možností.
  • Pro 2. řádek jsou vyloučeny všechny vektory, které jsou lineární kombinací 1. řádku, takže vektory. Pro 2. řádek existuje možností.
  • Pro 3. řádek jsou vyloučeny všechny vektory, které jsou lineární kombinací 1. a 2. řádku, takže vektorů. Pro 3. řádek existuje možností.
  • Obecně tedy pro řádek s indexem existuje možných hodnot. Pro všechny řádky matice tedy existuje celkem možností.

Z uvedeného lze odvodit i podíl regulárních matic mezi všemi maticemi řádu . Různých matic řádu je celkem , protože každý z prvků může nezávisle nabývat dvou hodnot. Podíl regulárních matic je

Pro jdoucí k nekonečnu tento součin konverguje podle věty o pětiúhelníkových číslech ke konečné limitě, přibližné hodnoty 0,289.

Uvedený výpočet lze zobecnit pro těleso s libovolným prvočíslem . Různých matic řádu je , z nichž je regulárních. Podíl regulárních matic je .[2]

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Invertible matrix na anglické Wikipedii a Reguläre Matrix na německé Wikipedii.

  1. a b Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
  2. StackExchange: Number of non singular matrices over a finite field of order 2

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]