iBet uBet web content aggregator. Adding the entire web to your favor.
iBet uBet web content aggregator. Adding the entire web to your favor.



Link to original content: http://cs.wikipedia.org/wiki/Jádro_matice
Jádro (lineární algebra) – Wikipedie Přeskočit na obsah

Jádro (lineární algebra)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
(přesměrováno z Jádro matice)
Tento článek je o matematice. Další významy jsou uvedeny na stránce Jádro.
Obraz a jádro lineárního zobrazení z prostoru do prostoru .

V lineární algebře se termínem jádro lineárního zobrazení označuje podprostor tvořený vzory nulového vektoru.

Jádrem matice se nazývá množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic, kde daná matice tvoří matici soustavy.[1]

Pro jádro se používá též název nulový prostor. Značí se (z anglického kernel - „jádro, pecka“ nebo „zrno“, resp. německého das Kern), případně , , , apod.

Dimenze jádra se nazývá nulita[pozn. 1][2] nebo defekt[3].

Jádro se využívá při popisu množiny řešení homogenních i nehomogenních soustav lineárních rovnic.

Je-li dána matice typu nad tělesem (např. reálnými či komplexními čísly), potom jádrem matice se nazývá množina všech řešení homogenní soustavy lineárních rovnic . Značí se a formálně je dáno předpisem:

Obecněji, je-li dáno lineární zobrazení mezi dvěma vektorovými prostory a , potom jádro zobrazení je vektorový podprostor tvořený všemi vektory z takovými, že , kde označuje nulový vektor prostoru . Formálně:

.

Jádro matice se shoduje s jádrem lineárního zobrazení daného předpisem .

Rovnici v oboru reálných čísel lze zapsat jako homogenní soustavu o jedné lineární rovnici a dvou reálných neznámých s maticí soustavy .

Jádrem této matice je

,

neboli množina bodů v s oběma souřadnicemi shodnými. Geometricky tvoří tyto body osu prvního a třetího kvadrantu.

K uvedené matici lze přiřadit zobrazení předpisem . Jádrem zobrazení je množina vzorů nulového vektoru z cílového prostoru (zde čísla , protože uvedená soustava má jen jednu rovnici). Tvoří ji stejná množina bodů (přímka) jako jádro matice :

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]
  • Lineární zobrazení podle definice zachovává součty a skalární násobky, a proto je jádro je uzavřené na součty a skalární násobky. Jádro zobrazení proto tvoří vektorový podprostor prostoru :
  • Speciálně, nulový vektor prostoru vždy patří do jádra.
  • Pokud se obrazy dvou vektorů v lineárním zobrazení shodují, patří jejich rozdíl do jádra :

Popis řešení soustav

[editovat | editovat zdroj]
  • Totéž v termínech řešení soustav: Jsou-li a dvě řešení soustavy lineárních rovnic , pak je řešením soustavy .
  • Je-li řešením soustavy a je řešení související homogenní soustavy , pak je také řešením soustavy .
  • V důsledku lze všechna řešení nehomogenní soustavy popsat pomocí jednoho partikulárního řešení a jádra:
Věta: Je-li jedno pevně zvolené partikulární řešení soustavy lineárních rovnic nad tělesem , pak množina všech řešení této soustavy je afinní podprostor .
Důkaz: Je-li libovolné řešení soustavy , pak , a proto . Naopak pro libovolné je řešením soustavy .

Ortogonalita

[editovat | editovat zdroj]

V prostoru odpovídá maticový součin standardnímu skalárnímu součinu.

  • Každý vektor jádra matice je proto kolmý na každý její řádek a v důsledku i na každý vektor z řádkového prostoru.
  • Obecněji, je-li unitární prostor a je jeho podprostor, potom jádro kolmé projekce je ortogonální doplněk podprostoru ve .

Řešení homogenní soustavy lineárních rovnic

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Gaussova eliminační metoda.

Elementární úpravy nemění množinu řešení soustavy, čili ani jádro matice. Proto je možné danou matici převést do odstupňovaného tvaru a poté zpětnou substitucí popsat množinu řešení neboli jádro.

Jádro reálné matice

obsahuje všechny vektory , pro něž platí , neboli:

Uvedená rovnice s maticovým součinem odpovídá homogenní soustavě lineárních rovnic v neznámých , a :

Stejnou soustavu lze také zapsat rozšířenou maticí soustavy a tu pomocí Gaussovy–Jordanovy eliminace elementárnímu úpravami převést na redukovaný odstupňovaný tvar:

Elementární úpravy zachovávají množinu řešení soustavy, čili i jádro matice . Přepsáním výsledné matice do rovnic se získá:

Prvky jádra lze dále vyjádřit v parametrické vektorové formě takto:

Protože je volná proměnná která může nabývat libovolnou hodnotu v oboru reálných čísel, lze řešení vyjádřit stejně dobře jako:

přičemž parametr byl získán substitucí .

Jádro je přesně řešením těchto rovnic (v tomto případě přímka v procházející počátkem a bodem . Uvedený bod je jednou z možných bází jádra . Nulita matice je tudíž rovna 1.

Přímý výpočet Gaussovou eliminací

[editovat | editovat zdroj]

Jádro matice lze určit i tak, že se z její transpozice vytvoří bloková matice připsáním jednotkové matice a tato matice se Gaussovou–Jordanovou eliminací převede na redukovaný odstupňovaný tvar .

Bázi jádra pak tvoří ty řádky matice , jimž v matici předcházejí samé nuly.

Korektnost uvedeného postupu vyplývá z toho, že matice reprezentuje úpravy použité během eliminace, a proto platí . každý z těchto vybraných řádků matice má nulový součin se sloupci , čili i s řádky , a proto patří do hledaného jádra . Protože je regulární, jsou tyto vektory lineárně nezávislé. Podle věty o dimenzích jádra a obrazu odpovídá jejich počet dimenzi jádra, a proto tvoří jeho bázi.

Pro zadání z předchozí ukázky odpovídá převod blokové matice na redukovaný odstupňovaný tvar výpočtu:

Pouze poslednímu řádku matice předcházejí v samé nuly. Tento vektor tvoří bázi jádra , což lze doložit součiny:

Uvedené součiny též ilustrují skutečnost, že u reálných matic jsou všechny vektory jádra kolmé na všechny vektory z řádkového prostoru dané matice, neboť tyto maticové součiny odpovídají standardnímu skalárnímu součinu na . Konkrétně, jádro odpovídá přímce a řádkový prostor je rovina procházející počátkem, která je kolmá na tuto přímku.

Součet hodnosti matice s její nulitou, neboli rovnost , dává počet sloupců matice , což zároveň ilustruje větu o dimenzích jádra a obrazu.

Numerické záležitosti

[editovat | editovat zdroj]

Způsob a stabilita výpočtu jádra na počítači závisí na druhu koeficientů.

Přesné koeficienty

[editovat | editovat zdroj]

Pokud jsou koeficienty matice přesně danými čísly, lze odstupňovaný tvar matice vypočítat pomocí Bareissova algoritmu efektivněji než pomocí Gaussovy eliminace. Ještě efektivnější je použít modulární aritmetiku a čínskou větu o zbytcích, která výpočet redukuje na několik podobných úlohu nad konečnými tělesy, čímž se ušetří režie vyvolaná nelinearitou časové složitosti celočíselného násobení.

Pro koeficienty v konečném tělese funguje Gaussova eliminace dobře, ale pro velké matice, které se vyskytují v kryptografii a při výpočtu Gröbnerovy báze, jsou známy algoritmy, které mají sice přibližně stejnou výpočetní složitost, ale efektivnější implementaci.

Výpočet s plovoucí desetinnou čárkou

[editovat | editovat zdroj]

U matic, jejichž prvky jsou čísla s plovoucí desetinnou čárkou, lze kvůli zaokrouhlovacím chybám téměř vždy předpokládat plnou řádkovou hodnosti, a to i když se jedná o aproximaci matice mnohem menší hodnosti. I pro matici s plnou hodností lze vypočítat hodnověrné jádro, jen je-li dobře podmíněná.

Dokonce i u dobře podmíněné matice plného pořadí se Gaussova eliminace nemusí chovat správně: zavádí zaokrouhlovací chyby, které mohou mít příliš velký vliv na správný výsledek. Protože výpočet jádra matice je speciálním příkladem řešení soustav, lze jádro vypočítat pomocí libovolného z různých algoritmů určených k řešení homogenních soustav lineárních rovnic.

  1. Termín nulita matice zavedl roku 1882 pro čtvercové matice J. J. Sylvester, viz MARTINA, Štěpánová. Počátky teorie matic v Českých zemích a jejich ohlasy. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2016. 473 s. ISBN 978-80-7378-254-2. S. 27. 

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Kernel (linear algebra) na anglické Wikipedii.

  1. BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. S. 110. 
  2. BORŮVKA, Otakar. Základy teorie matic. [s.l.]: Academia, 1971. Dostupné online. S. 106. 
  3. BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. S. 114. 

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]