iBet uBet web content aggregator. Adding the entire web to your favor.
iBet uBet web content aggregator. Adding the entire web to your favor.



Link to original content: http://cs.wikipedia.org/wiki/Hodnost_matice
Hodnost matice – Wikipedie Přeskočit na obsah

Hodnost matice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Hodnost je termín z lineární algebry. Hodnost matice označuje dimenzi vektorového prostoru generovaného sloupci , což odpovídá maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců. Lze ukázat, že hodnost matice je rovna dimenzi vektorového prostoru generovaného jejími řádky, čili maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků.

Hodnost matice je jednou z jejích základních charakteristik. Hodnost odpovídá míře „nedegenerovanosti“ příslušné soustavy lineárních rovnic, resp. lineárního zobrazení.

Hodnost se běžně označuje jako [1], v české literatuře i [2]. Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky: .

Pro matici typu s prvky z libovolného tělesa (např. reálných či komplexních čísel) je

  • Sloupcová hodnost matice rovna dimenzi jejího sloupcového prostoru, neboli podprostoru generovaného sloupci matice .
  • Řádková hodnost matice rovna dimenzi jejího řádkového prostoru, neboli podprostoru generovaného transpozicemi řádků matice (řádky jsou transponovány, protože aritmetické vektory jsou obvykle sloupcové).

Jak je naznačeno v odstavcích o výpočtu hodnosti Gaussovou eliminací nebo o hodnostním rozkladu, sloupcová a řádková hodnost matice definované nad tělesem[3] se vždy shodují, a proto se označuje jako hodnost matice . Další ekvivalentní definice hodnosti jsou uvedeny v sekci Alternativní definice.

O matici typu se říká, že má plnou hodnost, pokud , čili pokud má nejvyšší možnou hodnost mezi maticemi stejných rozměrů.[4]

Podobně lze definovat i hodnost lineárního zobrazení jako dimenzi jeho oboru hodnot:

,

kde symbol značí dimenzi vektorového prostoru a značí obor hodnot zobrazení.

Reálná matice

má (sloupcovou) hodnost 2: První dva sloupce jsou lineárně nezávislé, takže hodnost je alespoň 2. Třetí sloupec je lineární kombinací prvních dvou (první mínus druhý), a tak jsou všechny tři sloupce lineárně závislé a hodnost je menší než 3. Podobně je i řádková hodnost rovna dvěma, např. protože poslední řádek je nezávislý na prvním, ale prostřední je jejich rozdílem.

Reálná matice

má hodnost 1: Matice obsahuje i nenulové sloupce, takže hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupců je lineárně závislá.

Matice k ní transponovaná

má také hodnost 1, protože první sloupec je netriviální a druhý sloupec je jeho (-1)-násobek. Sloupcové vektory matice jsou řádkové vektory její transpozice , a proto je tvrzení, že sloupcová hodnost matice se rovná její řádkové hodnosti, ve skutečnosti ekvivalentní tvrzení, že hodnost matice se nezmění při transpozici, tj. .

Výpočet hodnosti

[editovat | editovat zdroj]

Gaussova eliminace

[editovat | editovat zdroj]
Hlavní článek: Gaussova eliminace

Jednoduchým postupem k nalezení hodnosti matice je její redukce na řádkově odstupňovaný tvar pomocí elementárních řádkových úprav. Řádkové úpravy nemění řádkový prostor a proto nemění ani jeho dimenzi. Protože jsou elementární řádkové úpravy invertibilní, zobrazují sloupcový prostor na izomorfní prostor, a tudíž zachovávají dimenzi sloupcových prostorů. Nenulové řádky matice v odstupňovaném tvaru jsou lineárně nezávislé, a proto je hodnost rovna jejich počtu, resp. počtu pivotů. Sloupce s pivoty jsou ze stejného důvodu lineárně nezávislé, generují ostatní nenulové sloupce a proto i celý sloupcový prostor.

Reálnou matici

lze převést do řádkově odstupňovaného tvaru pomocí následujících elementárních ekvivalentních řádkových úprav:

Výsledná matice v řádkově odstupňovaném tvaru má dva nenulové řádky, a tudíž jsou hodnost výsledné matice i hodnost původní matice rovny 2.

Numerické záležitosti

[editovat | editovat zdroj]

U výpočtů s plovoucí desetinnou čárkou na počítačích může být základní Gaussova eliminace (LU rozklad) numericky nespolehlivá. Účinnou alternativou je singulární rozklad (SVD). Výpočetně jednodušší možností je výpočet QR rozkladu s pivotováním, který je numericky stabilnější než Gaussova eliminace. Při numerických výpočtech hodnosti je třeba zavést kritérium, podle kterého se má s dostatečně hodnotou zacházet jako s nulou (např. se singulární hodnotou ze SVD rozkladu). Volba vhodného kritéria závisí jak na matici, tak na aplikaci.

Alternativní definice

[editovat | editovat zdroj]

Ve všech definicích v této části je matice brána jako matice typu nad libovolným tělesem .

Dimenze obrazu

[editovat | editovat zdroj]

Dané matici odpovídá lineární zobrazení definované vztahem . Hodnost matice je dimenze obrazu prostoru v zobrazení . Uvedeným způsobem lze definovat hodnost lineárního zobrazení, aniž by bylo třeba volit matici tohoto zobrazení.

Hodnost pomocí nulity

[editovat | editovat zdroj]

Hodnost lineárního zobrazení jako v předchozím odstavci je podle věty o dimenzích jádra a obrazu rovna rozdílu a dimenze jádra .

Hodnostní rozklad

[editovat | editovat zdroj]

Hodnost je nejmenší celé číslo takové, že lze rozložit na součin , kde je matice typu a je matice typu . Uvedený součin se nazývá hodnostní rozklad matice . Pro každé celé číslo jsou totiž ekvivalentní následující podmínky:

  1. sloupcová hodnost matice je nejvýše ,
  2. existuje sloupcových vektorů délky takových, že každý sloupec je lineární kombinací ,
  3. existují matice typu a matice typu takové, že ,
  4. existuje řádkových vektorů délky takových, že každý řádek je lineární kombinací ,
  5. řádková hodnost matice je nejvýše .

Ekvivalence lze přímočaře dokázat z dílčích vztahů: . Např. pro důkaz implikace se sestaví ze sloupců a pro se za vezmou sloupce matice .

Ekvivalence odpovídá již zmíněnému tvrzení, že řádková a sloupcová hodnost matice se shodují.

Podobně jako v definici hodnosti pomocí dimenze „dimenze obrazu“ lze uvedený přístup zobecnit na definici hodnosti libovolného lineárního zobrazení jako nejmenší dimenzi meziprostoru takového, že lze zapsat jako složení zobrazení a zobrazení . Uvedená definice ovšem neposkytuje efektivní návod pro výpočet hodnosti lineárního zobrazení.

Hodnost pomocí singulárních hodnot

[editovat | editovat zdroj]

Hodnost je rovna počtu nenulových singulárních hodnot, což odpovídá počtu nenulových diagonálních prvků v matici ze singulárního rozkladu .

Hodnost pomocí determinantu – řád největšího nenulového minoru

[editovat | editovat zdroj]

Hodnost matice je rovna řádu největšího nenulového subdeterminantu (minoru) . (Řád subdeterminantu se shoduje s řádem čtvercové podmatice, z níž je vypočten.) Stejně jako definice hodnosti pomocí rozkladu neposkytuje ani tato efektivní způsob výpočtu hodnosti, ale je užitečná teoreticky: Řád každého nenulového minoru je dolním odhadem hodnosti matice.

Podmatice řádu má nenulový determinant právě když je regulární, čili řádky a sloupce této podmatice jsou lineárně nezávislé. Odpovídající řádky a sloupce původní matice jsou také lineárně nezávislé, takže (řádková i sloupcová) hodnost je větší nebo rovna hodnosti definované pomocí minorů. Pro opačnou nerovnost je třeba z matice vybrat jejích lineárně nezávislých sloupců a lineárně nezávislých řádků. Čtvercová podmatice řádu určená výběrem indexů těchto řádků a sloupců je regulární a tudíž má nenulový determinant.

Tenzorová hodnost

[editovat | editovat zdroj]

Hodnost matice je nejmenší přirozené číslo takové, že lze zapsat jako součet matic hodnosti 1. Na matici hodnosti 1 se zde nahlíží jako na jednoduchý tenzor, což je nenulový maticový součin "sloupcového" vektoru a "řádkového" vektoru .

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Pokud není uveden jiný předpoklad, platí následující tvrzení pro matici typu nad tělesem (např. reálných čísel), a lineární zobrazení dané .

  • Hodnost matice je nezáporné celé číslo a nepřesahuje ani jeden z jejich rozměrů a . Formálně:
  • Jednotková matice řádu má plnou hodnost .
  • Matice má hodnost 1, právě když existují nenulové vektory a takové, že: .
  • Pro transponovanou matici platí , čili hodnost transponované matice je stejná jako hodnost původní matice.
  • Rozšíření pro reálné matice: Hodnost matice a přidružené Gramovy matice se shodují:
Rovnost vyplývá ze skutečnosti, že obě matice mají shodná jádra. Jádro Gramovy matice obsahuje vektory , pro které platí , a následně i:
  • Subaditivita: Pro matice a stejných rozměrů platí: . V důsledku toho lze každou matici hodnosti zapsat jako součet matic hodnosti 1, ale ne méně.
  • Součinem matic se hodnost nezvýší: . Rovnost nastává v případě, kdy alespoň jedna z matic je regulární.
  • Věta o dimenzích jádra a obrazu: Součet hodnosti matice a dimenze jejího jádra je roven počtu jejích sloupců, formálně: .
  • Sylvesterova nerovnost pro hodnost matic: Je-li matice typu a matice je typu , potom platí:
Uvedená nerovnost vyplývá z věty o dimenzích jádra a obrazu a nerovnosti . Zároveň je speciálním případem následující Frobeniovy nerovnosti.
  • Frobeniova nerovnost: Je-li definován součin , pak platí:
  • Matice má hodnost , právě když když existují regulární matice řádu a řádu takové, že platí:
,
kde je jednotková matice řádu .
  • Lineární zobrazení je prosté (injektivní), právě když matice zobrazení má hodnost rovnu počtu sloupců: . (V tomto případě se o matici říká, že má plnou sloupcovou hodnost.)
  • Lineární zobrazení je na (surjektivní), právě když matice zobrazení má hodnost rovnu počtu řádků: . (Čili matice má plnou řádkovou hodnost.)
  • Lineární zobrazení je bijektivní, právě když je matice zobrazení regulární. Zobrazení inverzní k odpovídá matici .
.

Hodnost matice využívá Frobeniova věta pro rozhodnutí, zdali má soustava lineárních rovnic alespoň jedno řešení, což nastává právě když se hodnost rozšířené matice shoduje s hodností matice soustavy. Řešení je jednoznačné, právě když se hodnost shoduje s počtem neznámých. Jinak má obecné řešení volných parametrů, kde je rozdíl mezi počtem proměnných a hodností. V tomto případě (a za předpokladu, že soustava rovnic je dána o oboru v reálných nebo komplexních číslech) má soustava nekonečně mnoho řešení.

V teorii řízení může být hodnost matice použita k určení, zda je lineární systém kontrolovatelný nebo pozorovatelný.

V oblasti komunikační složitosti platí, že hodnost komunikační matice funkce udává mez na množství komunikace potřebné pro výpočet této funkce dvěma stranami.

Terminologie

[editovat | editovat zdroj]
Podrobnější informace naleznete v článku Regulární matice.

Pokud má čtvercová matice plnou hodnost, čili pokud je tato rovna jejímu řádu, jde o regulární matici. Její řádky jsou lineárně nezávislé, a matice má nenulový determinant a všechna vlastní čísla jsou nenulová.

V opačném případě se matice nazývá singulární. Její řádky jsou lineárně závislé a její determinant je roven nule.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Rank (linear algebra) na anglické Wikipedii a Rang (Lineare Algebra) na německé Wikipedii.

  1. ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
  2. BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 186. 
  3. U matic nad okruhy nemusejí mít moduly generované sloupci resp. řádky matice bázi, a i kdyby báze existovaly, nemusejí mít jednoznačný počet prvků. I v případě, že by sloupcová a řádková hodnost dané matice nad okruhem byly dobře definovány, mohou se tyto lišit.
  4. Archivovaná kopie. math.feld.cvut.cz [online]. [cit. 2018-11-04]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2018-11-04. 

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]