Funkce alef

Funkce Alef (značená $\aleph \,\!$ a nazývaná podle prvního hebrejského písmene Alef) se používá v axiomatické teorii množin pro zobrazení, které ordinálnímu číslu $\alpha$ přiřadí kardinální číslo představující $\alpha$-tou nejmenší nekonečnou mohutnost.

Neformální úvod

Aby bylo možno se exaktním způsobem vyjadřovat o velkých množinách a nedostat se přitom do sporu (viz např. Russellův paradox), byla vynalezena axiomatická teorie množin. V ní se zavádějí kardinální čísla pro popsání velikostí (mohutností) množin a ordinální čísla pro popsání postupů, kdy po každém kroku můžeme provést krok následující a po každé (i nekonečné) množině kroků můžeme uvažovat jejich supremum (výsledek po jejich aplikaci).

Příkladem takového postupu je vytváření větších množin z menších:

• Ordinálnímu číslu 0 přiřadíme kardinalitu nejmenší nekonečné (tedy spočetné) množiny. Existuje mnoho spočetných množin, ale jejich velikost je vyjádřena tímtéž kardinálním číslem. To je (v nejběžnější z možných formálních konstrukcí kardinálních čísel) totožné s ordinálním číslem $\omega$, proto platí $\aleph _{0}=\omega \,\!$
• Dalším ordinálním číslům přiřadíme vždy nejmenší větší mohutnost. Taková vždy existuje, protože třída kardinálních čísel je dobře uspořádaná. Proto $\aleph _{1}\,\!$ je kardinalita nejmenší množiny větší, než jsou spočetné množiny, nebo ekvivalentně, $\aleph _{1}\,\!$ je nejmenší kardinální číslo větší než $\aleph _{0}\,\!$.
• $\aleph _{2}\,\!$ je nejmenší kardinální číslo větší než $\aleph _{1}\,\!$ atd.
• Nejbližší další ordinální číslo, pro které musíme funkci definovat, je $\omega _{0}\,\!$. Využijeme toho, že ke každé množině M kardinálních čísel existuje její supremum (tj. nejmenší kardinální číslo větší než všechna čísla z té množiny), které lze zkonstruovat jako sjednocení těchto kardinálních čísel. Abychom dodrželi princip, že funkce $\aleph \,\!$ řadí kardinální čísla dle velikosti, definujeme $\aleph _{\omega _{0}}$ jako supremum všech předchozích hodnot, tedy $\aleph _{\omega _{0}}=\bigcup _{\alpha <\omega _{0}}\aleph _{\alpha }\,\!$.
• $\aleph _{\omega _{0}+1}\,\!$ pak bude nejmenší kardinální číslo větší než $\aleph _{\omega _{0}}\,\!$. Podobně se definuje $\aleph _{\omega _{0}+2}\,\!$ atd.
• $\aleph _{\omega _{0}+\omega _{0}}\,\!$ pak bude supremum posloupnosti $\aleph _{\omega _{0}+1},\aleph _{\omega _{0}+2},\dots \,\!$
• Podobně lze definovat krok pro všechna větší ordinální čísla, včetně nespočetných.

Definice

Funkcí $\aleph \,\!$ rozumíme třídové zobrazení z třídy všech ordinálních čísel do třídy všech kardinálních čísel, které splňuje následující podmínky (věta o transfinitní rekurzi zaručuje, že takové třídové zobrazení existuje a že je určeno jednoznačně):

• $\aleph _{0}=\omega _{0}\,\!$
• Pro každé ordinální číslo $\alpha$ je $\aleph _{\alpha +1}\,\!$ rovno nejmenšímu kardinálnímu číslu většímu než $\aleph _{\alpha }\,\!$
• Pro každé limitní ordinální číslo $\alpha$ je $\aleph _{\alpha }=\bigcup _{\beta <\alpha }\aleph _{\beta }\,\!$

V souladu s předpoklady věty o transfinitní rekurzi je funkční hodnota pro každé ordinální číslo definována právě jednou z těchto odrážek; ordinální číslo lze zapsat jako $\alpha +1\,\!$, právě když není limitní a není to 0.

Vlastnosti funkce ℵ

Mnoho matematických tvrzení lze vyjádřit pomocí této funkce, například Hypotéza kontinua je ekvivalentní s tvrzením „reálná čísla mají mohutnost $\aleph _{1}\,\!$“.

Pevné body

Vzhledem k tomu, jak prudce funkce $\aleph \,\!$ roste (např. v modelech, kde platí Zobecněná hypotéza kontinua, je reálných čísel i spojitých funkcí $\aleph _{1}\,\!$ a všech matematických funkcí je $\aleph _{2}\,\!$), může být překvapivé, že tato funkce má pevné body, tj. že existují ordinální čísla $\alpha \,\!$ taková, že $\aleph _{\alpha }=\alpha \,\!$. Prvním pevným bodem je limita (tj. supremum) posloupnosti $\aleph _{0},\aleph _{\aleph _{0}},\aleph _{\aleph _{\aleph _{0}}}\ldots \,\!$

Odkazy

Související články

• Kardinální číslo
• Ordinální číslo
• Regulární ordinál