iBet uBet web content aggregator. Adding the entire web to your favor.
iBet uBet web content aggregator. Adding the entire web to your favor.



Link to original content: http://cs.m.wikipedia.org/wiki/Hodnost_matice
Hodnost matice – Wikipedie

Hodnost matice

matematický pojem; míra „nedegenerovanosti“ soustavy lineárních rovnic, resp. lineárního zobrazení popsaných maticí

Hodnost je termín z lineární algebry. Hodnost matice označuje dimenzi vektorového prostoru generovaného sloupci , což odpovídá maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců. Lze ukázat, že hodnost matice je rovna dimenzi vektorového prostoru generovaného jejími řádky, čili maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků.

Hodnost matice je jednou z jejích základních charakteristik. Hodnost odpovídá míře „nedegenerovanosti“ příslušné soustavy lineárních rovnic, resp. lineárního zobrazení.

Hodnost se běžně označuje jako [1], v české literatuře i [2]. Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky: .

Definice

editovat

Pro matici   typu   s prvky z libovolného tělesa   (např. reálných či komplexních čísel) je

  • Sloupcová hodnost matice   rovna dimenzi jejího sloupcového prostoru, neboli podprostoru   generovaného sloupci matice  .
  • Řádková hodnost matice   rovna dimenzi jejího řádkového prostoru, neboli podprostoru   generovaného transpozicemi řádků matice   (řádky jsou transponovány, protože aritmetické vektory jsou obvykle sloupcové).

Jak je naznačeno v odstavcích o výpočtu hodnosti Gaussovou eliminací nebo o hodnostním rozkladu, sloupcová a řádková hodnost matice definované nad tělesem[3] se vždy shodují, a proto se označuje jako hodnost matice  . Další ekvivalentní definice hodnosti jsou uvedeny v sekci Alternativní definice.

O matici   typu   se říká, že má plnou hodnost, pokud  , čili pokud má nejvyšší možnou hodnost mezi maticemi stejných rozměrů.[4]

Podobně lze definovat i hodnost lineárního zobrazení   jako dimenzi jeho oboru hodnot:

 ,

kde symbol   značí dimenzi vektorového prostoru a   značí obor hodnot zobrazení.

Ukázky

editovat

Reálná matice

 

má (sloupcovou) hodnost 2: První dva sloupce jsou lineárně nezávislé, takže hodnost je alespoň 2. Třetí sloupec je lineární kombinací prvních dvou (první mínus druhý), a tak jsou všechny tři sloupce lineárně závislé a hodnost je menší než 3. Podobně je i řádková hodnost rovna dvěma, např. protože poslední řádek je nezávislý na prvním, ale prostřední je jejich rozdílem.

Reálná matice

 

má hodnost 1: Matice obsahuje i nenulové sloupce, takže hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupců je lineárně závislá.

Matice k ní transponovaná

 

má také hodnost 1, protože první sloupec je netriviální a druhý sloupec je jeho (-1)-násobek. Sloupcové vektory matice   jsou řádkové vektory její transpozice  , a proto je tvrzení, že sloupcová hodnost matice se rovná její řádkové hodnosti, ve skutečnosti ekvivalentní tvrzení, že hodnost matice se nezmění při transpozici, tj.  .

Výpočet hodnosti

editovat

Gaussova eliminace

editovat
Hlavní článek: Gaussova eliminace

Jednoduchým postupem k nalezení hodnosti matice je její redukce na řádkově odstupňovaný tvar pomocí elementárních řádkových úprav. Řádkové úpravy nemění řádkový prostor a proto nemění ani jeho dimenzi. Protože jsou elementární řádkové úpravy invertibilní, zobrazují sloupcový prostor na izomorfní prostor, a tudíž zachovávají dimenzi sloupcových prostorů. Nenulové řádky matice v odstupňovaném tvaru jsou lineárně nezávislé, a proto je hodnost rovna jejich počtu, resp. počtu pivotů. Sloupce s pivoty jsou ze stejného důvodu lineárně nezávislé, generují ostatní nenulové sloupce a proto i celý sloupcový prostor.

Ukázka

editovat

Reálnou matici

 

lze převést do řádkově odstupňovaného tvaru pomocí následujících elementárních ekvivalentních řádkových úprav:

 

Výsledná matice v řádkově odstupňovaném tvaru má dva nenulové řádky, a tudíž jsou hodnost výsledné matice i hodnost původní matice   rovny 2.

Numerické záležitosti

editovat

U výpočtů s plovoucí desetinnou čárkou na počítačích může být základní Gaussova eliminace (LU rozklad) numericky nespolehlivá. Účinnou alternativou je singulární rozklad (SVD). Výpočetně jednodušší možností je výpočet QR rozkladu s pivotováním, který je numericky stabilnější než Gaussova eliminace. Při numerických výpočtech hodnosti je třeba zavést kritérium, podle kterého se má s dostatečně hodnotou zacházet jako s nulou (např. se singulární hodnotou ze SVD rozkladu). Volba vhodného kritéria závisí jak na matici, tak na aplikaci.

Alternativní definice

editovat

Ve všech definicích v této části je matice   brána jako matice typu   nad libovolným tělesem   .

Dimenze obrazu

editovat

Dané matici   odpovídá lineární zobrazení   definované vztahem  . Hodnost matice   je dimenze obrazu prostoru   v zobrazení  . Uvedeným způsobem lze definovat hodnost lineárního zobrazení, aniž by bylo třeba volit matici tohoto zobrazení.

Hodnost pomocí nulity

editovat

Hodnost lineárního zobrazení   jako v předchozím odstavci je podle věty o dimenzích jádra a obrazu rovna rozdílu   a dimenze jádra  .

Hodnostní rozklad

editovat

Hodnost   je nejmenší celé číslo   takové, že   lze rozložit na součin  , kde   je matice typu   a   je matice typu  . Uvedený součin   se nazývá hodnostní rozklad matice  . Pro každé celé číslo   jsou totiž ekvivalentní následující podmínky:

  1. sloupcová hodnost matice   je nejvýše  ,
  2. existuje   sloupcových vektorů   délky   takových, že každý sloupec   je lineární kombinací   ,
  3. existují matice   typu   a matice   typu   takové, že  ,
  4. existuje   řádkových vektorů   délky   takových, že každý řádek   je lineární kombinací  ,
  5. řádková hodnost matice   je nejvýše  .

Ekvivalence lze přímočaře dokázat z dílčích vztahů:  . Např. pro důkaz implikace   se   sestaví ze sloupců   a pro   se za   vezmou sloupce matice  .

Ekvivalence   odpovídá již zmíněnému tvrzení, že řádková a sloupcová hodnost matice   se shodují.

Podobně jako v definici hodnosti pomocí dimenze „dimenze obrazu“ lze uvedený přístup zobecnit na definici hodnosti libovolného lineárního zobrazení   jako nejmenší dimenzi   meziprostoru   takového, že   lze zapsat jako složení zobrazení   a zobrazení  . Uvedená definice ovšem neposkytuje efektivní návod pro výpočet hodnosti lineárního zobrazení.

Hodnost pomocí singulárních hodnot

editovat

Hodnost   je rovna počtu nenulových singulárních hodnot, což odpovídá počtu nenulových diagonálních prvků v matici   ze singulárního rozkladu  .

Hodnost pomocí determinantu – řád největšího nenulového minoru

editovat

Hodnost matice   je rovna řádu největšího nenulového subdeterminantu (minoru)  . (Řád subdeterminantu se shoduje s řádem čtvercové podmatice, z níž je vypočten.) Stejně jako definice hodnosti pomocí rozkladu neposkytuje ani tato efektivní způsob výpočtu hodnosti, ale je užitečná teoreticky: Řád každého nenulového minoru je dolním odhadem hodnosti matice.

Podmatice řádu   má nenulový determinant právě když je regulární, čili řádky a sloupce této podmatice jsou lineárně nezávislé. Odpovídající řádky a sloupce původní matice jsou také lineárně nezávislé, takže (řádková i sloupcová) hodnost je větší nebo rovna hodnosti definované pomocí minorů. Pro opačnou nerovnost je třeba z matice   vybrat   jejích lineárně nezávislých sloupců a   lineárně nezávislých řádků. Čtvercová podmatice řádu   určená výběrem indexů těchto řádků a sloupců je regulární a tudíž má nenulový determinant.

Tenzorová hodnost

editovat

Hodnost matice   je nejmenší přirozené číslo   takové, že   lze zapsat jako součet   matic hodnosti 1. Na matici hodnosti 1 se zde nahlíží jako na jednoduchý tenzor, což je nenulový maticový součin   "sloupcového" vektoru   a "řádkového" vektoru  .

Vlastnosti

editovat

Pokud není uveden jiný předpoklad, platí následující tvrzení pro matici   typu   nad tělesem   (např. reálných čísel), a lineární zobrazení   dané  .

  • Hodnost matice je nezáporné celé číslo a nepřesahuje ani jeden z jejich rozměrů   a  . Formálně:  
  • Jednotková matice   řádu   má plnou hodnost  .
  • Matice   má hodnost 1, právě když existují nenulové vektory   a   takové, že:  .
  • Pro transponovanou matici platí  , čili hodnost transponované matice je stejná jako hodnost původní matice.
  • Rozšíření pro reálné matice: Hodnost matice   a přidružené Gramovy matice se shodují:
 
Rovnost vyplývá ze skutečnosti, že obě matice mají shodná jádra. Jádro Gramovy matice obsahuje vektory  , pro které platí  , a následně i:  
 
  • Subaditivita: Pro matice   a   stejných rozměrů platí:  . V důsledku toho lze každou matici hodnosti   zapsat jako součet   matic hodnosti 1, ale ne méně.
  • Součinem matic se hodnost nezvýší:  . Rovnost nastává v případě, kdy alespoň jedna z matic je regulární.
  • Věta o dimenzích jádra a obrazu: Součet hodnosti matice a dimenze jejího jádra je roven počtu jejích sloupců, formálně:  .
  • Sylvesterova nerovnost pro hodnost matic: Je-li   matice typu   a matice   je typu  , potom platí:
 
Uvedená nerovnost vyplývá z věty o dimenzích jádra a obrazu a nerovnosti  . Zároveň je speciálním případem následující Frobeniovy nerovnosti.
  • Frobeniova nerovnost: Je-li definován součin  , pak platí:
 
  • Matice   má hodnost  , právě když když existují regulární matice   řádu   a   řádu   takové, že platí:
 ,
kde   je jednotková matice řádu  .
  • Lineární zobrazení je prosté (injektivní), právě když matice zobrazení má hodnost rovnu počtu sloupců:  . (V tomto případě se o matici říká, že má plnou sloupcovou hodnost.)
  • Lineární zobrazení je na (surjektivní), právě když matice zobrazení má hodnost rovnu počtu řádků:  . (Čili matice má plnou řádkovou hodnost.)
  • Lineární zobrazení   je bijektivní, právě když je matice zobrazení regulární. Zobrazení inverzní k   odpovídá matici  .
 .

Použití

editovat

Hodnost matice využívá Frobeniova věta pro rozhodnutí, zdali má soustava lineárních rovnic alespoň jedno řešení, což nastává právě když se hodnost rozšířené matice shoduje s hodností matice soustavy. Řešení je jednoznačné, právě když se hodnost shoduje s počtem neznámých. Jinak má obecné řešení   volných parametrů, kde   je rozdíl mezi počtem proměnných a hodností. V tomto případě (a za předpokladu, že soustava rovnic je dána o oboru v reálných nebo komplexních číslech) má soustava nekonečně mnoho řešení.

V teorii řízení může být hodnost matice použita k určení, zda je lineární systém kontrolovatelný nebo pozorovatelný.

V oblasti komunikační složitosti platí, že hodnost komunikační matice funkce udává mez na množství komunikace potřebné pro výpočet této funkce dvěma stranami.

Terminologie

editovat
Podrobnější informace naleznete v článku Regulární matice.

Pokud má čtvercová matice plnou hodnost, čili pokud je tato rovna jejímu řádu, jde o regulární matici. Její řádky jsou lineárně nezávislé, a matice má nenulový determinant a všechna vlastní čísla jsou nenulová.

V opačném případě se matice nazývá singulární. Její řádky jsou lineárně závislé a její determinant je roven nule.

Reference

editovat

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Rank (linear algebra) na anglické Wikipedii a Rang (Lineare Algebra) na německé Wikipedii.

  1. ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
  2. BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 186. 
  3. U matic nad okruhy nemusejí mít moduly generované sloupci resp. řádky matice bázi, a i kdyby báze existovaly, nemusejí mít jednoznačný počet prvků. I v případě, že by sloupcová a řádková hodnost dané matice nad okruhem byly dobře definovány, mohou se tyto lišit.
  4. Archivovaná kopie. math.feld.cvut.cz [online]. [cit. 2018-11-04]. Dostupné v archivu pořízeném z originálu dne 2018-11-04. 

Literatura

editovat
  • Slovník školské matematiky. Praha: SPN, 1981. 240 s. 
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

editovat