Aquest article o secció no
cita les fonts o necessita més referències per a la seva
verificabilitat .
En matemàtiques , una quàdrica o superfície quàdrica és una hipersuperfície definida en un espai vectorial n-dimensional, pels punts que anul·len un polinomi quadràtic. Si les coordenades d'aquest espai són
{
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
}
{\displaystyle \left\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\right\}\,}
∑
i
,
j
=
1
n
P
i
,
j
x
i
x
j
+
∑
k
=
1
n
Q
k
x
k
+
R
=
0
{\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}P_{i,j}x_{i}x_{j}+\sum _{k=1}^{n}Q_{k}x_{k}+R=0\,}
P
(
i
,
j
)
{\displaystyle P_{(i,j)}\,}
0
{\displaystyle 0\,}
cos , sobre el qual s'ha definit l'espai vectorial . Malgrat això, a partir d'ara, només considerarem quàdriques sobre el cos
R
{\displaystyle \mathbb {R} \,}
En el cas concret que
n
=
2
{\displaystyle n=2\,}
còniques
(
A
x
2
+
B
y
2
+
2
C
x
y
)
+
(
2
D
x
+
2
E
y
)
+
F
=
0
{\displaystyle (Ax^{2}+By^{2}+2Cxy)+(2Dx+2Ey)+F=0\,}
còniques
X
′
M
X
=
0
{\displaystyle X^{\prime }MX=0\,}
En què:
X
=
(
x
y
1
)
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}\,}
M
=
(
A
C
D
C
B
E
D
E
F
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&C&D\\C&B&E\\D&E&F\end{pmatrix}}\,}
Segons la forma canònica que adopti la matriu
M
{\displaystyle M\,}
a
,
b
,
m
{\displaystyle a,b,m\,}
0
{\displaystyle 0\,}
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\,}
el·lipse imaginària
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}
el·lipse real
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0\,}
dues rectes imaginàries no paral·leles
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}
hipèrbola
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0\,}
dues rectes reals no paral·leles
y
=
m
x
2
{\displaystyle y=mx^{2}\,}
paràbola
a
2
x
2
=
−
1
{\displaystyle a^{2}x^{2}=-1\,}
dues rectes imaginàries paral·leles
a
2
x
2
=
1
{\displaystyle a^{2}x^{2}=1\,}
dues rectes reals paral·leles
m
x
2
=
0
{\displaystyle mx^{2}=0\,}
dues rectes coincidents
x
=
0
{\displaystyle x=0\,}
una recta real
També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot el pla .
Més amunt, hi ha la definició general de quàdrica. Però, normalment, s'entén per quàdrica el cas concret en què
n
=
3
{\displaystyle n=3\,}
M
{\displaystyle M\,}
X
=
(
x
y
z
1
)
{\displaystyle X={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}\,}
M
=
(
A
D
E
G
D
B
F
H
E
F
C
I
G
H
I
J
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&D&E&G\\D&B&F&H\\E&F&C&I\\G&H&I&J\end{pmatrix}}\,}
l'equació de la quàdrica serà també:
X
′
M
X
=
0
{\displaystyle X^{\prime }MX=0\,}
Si es classifiquen les seves formes canòniques, es troba la llista següent:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=-1\,}
el·lipsoide imaginari
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,}
el·lipsoide real
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\,}
con imaginari
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,}
hiperboloide d'un full
x
2
a
2
−
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\,}
hiperboloide de dos fulls
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\,}
con real
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z=0\,}
paraboloide el·líptic
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1\,}
superfície cilíndrica imaginària
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}
superfície cilíndrica el·líptica
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0\,}
dos plans imaginaris no paral·lels
x
2
a
2
−
y
2
b
2
+
z
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+z=0\,}
paraboloide hiperbòlic
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,}
superfície cilíndrica hiperbòlica
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0\,}
dos plans reals no paral·lels
x
2
+
m
z
=
0
{\displaystyle x^{2}+mz=0\,}
superfície cilíndrica parabòlica
x
2
a
2
=
−
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=-1\,}
dos plans imaginaris paral·lels
x
2
a
2
=
1
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=1\,}
dos plans reals paral·lels
x
2
a
2
=
0
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}=0\,}
dos plans reals coincidents
x
=
0
{\displaystyle x=0\,}
un pla únic real
També existeix la possibilitat d'un conjunt buit i la de tot l'espai .
