Abelse groep

'n Abelse groep is 'n konsep in abstrakte algebra waar die toepassingsorde van die groepbewerking geen effek op die resultaat het nie. Hierdie eienskap word na verwys as kommutatiwiteit. Abelse groepe is 'n veralgemening van die aritmetiek van die optel van heelgetalle en word vernoem na die Noorse wiskundige Niels Henrik Abel.

Abelse groepe is een van die eerste konsepte wat voorgraadse studente in abstrakte algebra teëkom, tesame met vele ander basiese strukture soos module en wektorruimtes. Die teorie van abelse groepe is gewoonlik eenvoudiger as dié van nie-abelse groepe, en eindige abelse groepe word baie goed verstaan. Die teorie van oneindige abelse groepe is egter 'n area van huidige navorsing.

Definisie

‘n Abelse groep is a versameling, A, saam met ‘n binêre operasie • wat enige twee elemente a end b kombineer om ‘n ander element geskryf as a • b te vorm. Die simbool • is ‘n algemene plekhouer vir ‘n gegewe operasie. Om te kwalifiseer as ‘n Abelse groep moet die versameling en operasie, (A, •), aan vyf vereistes voldoen, bekend as die “Abelse groep aksiome”:

Geslotenheid

Vir alle a, b in A, is die resultaat van die operasie a • b is ook in A.

Assosiatiwiteit

Vir alle a, b en c in A, is (a • b) • c = a • (b • c).

Identiteit element

Daar bestaan ‘n element e in A sodanig, dat vir alle elemente a in A, (a • b) • c = a • (b • c) is.

Inverse element

Vir elke element a in A bestaan daar ‘n element b in A sodanig dat a • b = b • a = e, waar e die identiteit element is.

Kommutatiwiteit

Vir alle a, b in A, is a • b = b • a.