Brahmagupta

Données clés
Naissance	598; Bhillamala (Bhinmal (en)), Rajasthan (Inde)
Décès	670
Nationalité	Indien
Domaines	Mathématiques et astronomie
Renommé pour	le Khandakhâdyaka et le Brāhmasphuṭasiddhānta

Brahmagupta (ब्रह्मगुप्त) (Multân, 598–670) est un mathématicien et astronome indien.

Brahmagupta est l'un des plus importants mathématiciens tant de l'Inde que de son époque. On lui connait deux ouvrages majeurs : le Brāhmasphuṭasiddhānta (ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त) en 628 et le Khandakhâdyaka en 665.

Il dirige l'observatoire astronomique d'Ujjain, ville qui est au VII^e siècle un centre majeur de recherches en mathématique. C'est dans son premier ouvrage le Brahmasphutasiddhanta, qu'il définit le zéro comme résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même, qu'il décrit les résultats d'opérations avec ce nouveau nombre, mais se « trompe » en donnant comme résultat zéro à 0/0. En revanche, il donne des règles correctes sur les signes lors d'opérations entre entiers relatifs (profits et pertes). Il donne aussi dans cet ouvrage la solution de l'équation générale de degré 2.

Brahmagupta fut le premier mathématicien à utiliser l'algèbre pour résoudre des problèmes astronomiques. Il proposa comme durée de l'année tropique : 365 jours, 6 heures, 5 minutes, et 19 secondes, lors d'une première estimation. Dans son deuxième livre le Khandakhâdyaka, il propose 365 jours, 6 heures, 12 minutes et 36 secondes. La vraie longueur des années est d'un peu moins de 365 jours et 6 heures. Omar Khayyam parviendra trois siècles plus tard à calculer une valeur d'une telle précision que son changement se mesure dans l'espace de quelques vies humaines (la Terre ralentit très lentement, mais irréversiblement, en raison des frottements des marées). Et il était astrologue indien

Biographie

Brahmagupta est né vers 598 à Bhillamala (Bhinmal (en)), au Rajasthan, dans le nord-ouest de l'Inde. À cette époque, Bhillamala est la capitale du Gujarat et le siège du pouvoir des Gurjars. Son père s'appelle Jishnugupta et est marchand ou agriculteur^{[n 1]}^,^[2]. Il reçoit une éducation hindouiste orthodoxe vers 610-620, s'initie aux textes scientifiques grecs^{[n 2]} ainsi qu'aux écrits d'Aryabhata et Varahamihira vers 620-627. Ses traités sont imprégnés de ces différentes sources, mais les modifient et corrigent leurs erreurs. Il adhère à l'école astronomique Brahmapaksa^{[n 3]}^,^[4].

Il a probablement vécu la plus grande partie de sa vie à Bhillamala durant le règne (et peut-être mécénat) du Roi Vyaghramukha^[5]. De ce fait, Brahmagupta est souvent appelé Bhillamalacharya, c'est-à-dire le professeur de Bhillamala. Il a dirigé l’observatoire astronomique d'Ujjain, ville sainte du Madhya Pradesh, où il écrit deux textes sur les mathématiques et l'astronomie : Brahmasphutasiddhanta en 628 et Khandakhadyaka en 665^{[n 4]}.

Bien que Brahmagupta ait été familier des travaux des astronomes suivant la tradition d'Aryabhata, on ne sait pas s'il était familier de l’œuvre de son contemporain Bhaskara I^[5]. Brahmagupta a grandement critiqué les œuvres des astronomes rivaux et son Brahmasphutasiddhanta est considéré comme un des plus anciens schismes des mathématiciens indiens. Cette division a pour cause, au début, l'application des mathématiques au monde physique plutôt que les mathématiques elles-mêmes. Dans le cas de Brahmagupta, les désaccords découlaient en grande partie du choix des paramètres astronomiques et des théories^[5]. La critique des théories rivales apparaît dans les deux premiers chapitres astronomiques et le onzième chapitre est entièrement consacré à la critique de ces théories bien qu’aucune critique n'apparaisse dans les chapitres douze et dix-huit^[5].

Brahmagupta est un hindou dévot et ses croyances religieuses, à commencer par le système yuga d'estimation des âges de l'Humanité, imprègnent profondément son travail. Un yuga ("ère" en sanskrit) est un âge ou un temps faisant partie d'un cycle plus important de quatre ères : Satyayuga, Tretayuga, Dvaparayuga et Kaliyuga. Selon la cosmologie hindoue, le monde existe pendant une période de 4 320 000 années solaires (« grande ère » ou Mayayuga) puis se dissout à nouveau. Brahmagupta critique sévèrement les conceptions cosmologiques jaïnistes et les autres hétérodoxies comme celle d'Aryabhata pour qui la Terre est une sphère en rotation. Cette idée est aussi défendue par Bhaskara I, contemporain et rival de Brahmagupta^[6].

Œuvres

En 628, à l'âge de trente ans, Brahmagupta achève son œuvre maîtresse, le Brahmasphutasiddhanta (Traité correct de Brahma)^{[n 5]}. Ce sont des commentaires de savants indiens ultérieurs qui permettent de dater l'ouvrage, ainsi que des événements astronomiques auxquels il fait référence. Comme ses précurseurs Aryabhata et Varahamihira, il rédige ses textes mathématiques sous forme versifiée, un peu à la manière des casse-tête qui étaient une forme de divertissement très courant. Il dit lui-même qu'il ne propose ses problèmes mathématiques que parce qu'ils lui procurent du plaisir.

Il rédige son deuxième grand traité d'astronomie mathématique à la fin de sa vie, à l'âge de soixante-sept ans, en 665. Ce second traité compte huit chapitres et est connu sous le nom de Khandakhadyaka (littéralement « confiseries » ou « douceurs »)^{[n 6]}. Ce titre étrange tient peut-être au fait qu'il s'agit en partie d'une version visant à rendre plus douce la pratique de l'Aryabhatiya^[8].

Mathématiques

Algèbre

Brahmagupta a donné la solution générale des équations linéaires dans le chapitre dix-huit du Brahmasphutasiddhanta,

« (texte traduit)La différence entre les rupas, lorsqu'elle est inversée et divisée par la différence des inconnues, est l'inconnue de l'équation. Les rupas sont [soustrayés du côté] en dessous de ceux à partir desquels le carré et l’inconnu doivent être soustraits^[9]. »

Cette solution de $bx+c=dx+e$ est équivalente à $x={\tfrac {e-c}{b-d}}$ , où les rupas représentent les constantes c et e. Il donne ensuite deux solutions équivalentes de l'équation générale du second degré $ax^{2}+bx=c$ :

« 18.44. Diminuez par le milieu [nombre] la racine carrée des rupas multipliée par quatre fois le carré et augmentée par le carré du milieu [nombre]; divisez le reste par deux fois le carré. [Le résultat est] le [numéro] du milieu.
18.45. Quelle que soit la racine carrée des rupas multipliée par le carré [et] augmentée par le carré de la moitié de l'inconnu, diminuez celle de moitié par l'inconnu [et] divisez [le reste] par son carré. [Le résultat est] l'inconnu ^[9]. »

Ce qui est respectivement équivalent à

x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}

et à

x={\frac {{\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}.

Il continue ensuite en résolvant les équations indéterminées (en) indiquant que la variable désirée doit d'abord être isolée puis que l'équation doit être divisée par le coefficient de la variable désirée. En particulier, il a recommandé d'utiliser « le broyeur » pour résoudre des équations à plusieurs inconnues.

« 18.51. Subtract the colors different from the first color. [The remainder] divided by the first [color's coefficient] is the measure of the first. [Terms] two by two [are] considered [when reduced to] similar divisors, [and so on] repeatedly. If there are many [colors], the pulverizer [is to be used]^[9]. »

Comme l'algèbre de Diophante, l'algèbre de Brahmagupta est syncopée. L'addition est indiquée en plaçant les nombres les uns à côté des autres, la soustraction en plaçant un point sur le diminuteur et une division en plaçant le diviseur en dessous du dividende. La multiplication et les quantités inconnues sont représentées par des abréviations des termes appropriés^[10]. L'étendue de l'influence grecque sur sa syncope, s'il y en a une, est inconnue et il est possible que les syncopes grecque et indienne dérivent d'une source babylonienne commune^[10].

Géométrie

Brahmagupta a également contribué au domaine de la géométrie avec sa formule^[11] (généralisation de la formule d'Heron) permettant de calculer l'aire S de n'importe quel quadrilatère cyclique en connaissant les longueurs de ses côtés qu'on note p, q, r et s : $S={\sqrt {(K-p)(K-q)(K-r)(K-s)}}$

où K est le demi-périmètre:

$K={\frac {q+p+r+s}{2}}$

Astronomie

Brahmagupta adhère à la plus ancienne école, Brahmapaksa, qui prétend être une révélation du dieu Brahma. Le texte fondateur de cette paksa est le Paitamahasiddhanta dont des fragments sont parvenus jusqu'à nous à l'intérieur d'une autre compilation importante, la Visnudharmottarapurana. Le principal traité de cette paksa après le siddhanta fondateur est le Brahmasphutasiddhanta^{[n 7]} de Brahmagupta. Les membres de cette école étaient nombreux dans l'ouest et le nord-ouest du sous-continent^[12].

L'astronomie dans le Brahmasphutasiddhanta

Brahmagupta critique sévèrement Aryabhata, car il estime qu'il s'est écarté des traditions des textes sacrés, les smirti, qui étaient suivis par la Brahmapaksa originelle. La critique des travaux de ses rivaux — qui peut être virulente — transparaît par endroits dans les dix premiers chapitres astronomiques du Brahmasphutasiddhanta, mais le chapitre 11, intitulé Tantrapariksadhyaya, lui est entièrement consacré. Grâce à ses compétences mathématiques, Brahmagupta a mis au point des méthodes ingénieuses de calcul astronomique et c'est grâce à elles qu'il a amélioré le calcul des longitudes des planètes.

Une partie du Brahmasphutasiddhanta est consacrée au calcul des éclipses de la Lune et du Soleil, car, comme il le dit lui-même : « Les astronomes recherchent la connaissance du temps avant tout dans le but de comprendre les sizigas », c'est-à-dire les situations dans lesquelles trois objets célestes ou plus sont alignés, comme lors des éclipses^[13].

Le Khandakhadyaka de Brahmagupta

Le second ouvrage de Brahmagupta, le Khandakhadyaka, est rédigé en l'an 587 de lère Saka. Ce manuel nous est parvenu dans son intégralité. Brahmagupta n'est pas qu'un théoricien. Ses calculs sont basés sur des observations à l'aide de dispositifs. Pour lui, ces observations doivent permettre de faire des corrections. Le Khandakhadyaka contient non seulement des propositions théoriques pertinentes, comme la formule d'interpolation pour les sinus, mais est remarquable par l'importance accordée aux observations directes^[14].

Postérité

L'héritage en Inde

Mahavira et Bhaskara II prolongent l'œuvre de Brahmagupta, en l'assimilant et en la développant. Mahavira (vers 850) est considéré comme le mathématicien indien le plus important du IX^e siècle. Il se consacre exclusivement aux mathématiques et ne s'occupe pas d'astronomie. Il appartient à l'école mathématique de Mysore, dans le sud de l'Inde. Il connaît les mathématiques jaïnistes, qu'il cultive et amplifie dans son Ganitasarasangraha, le premier traité mathématique non astronomique, écrit en sanskrit, qui nous est intégralement parvenu^[15].

Bhaskara II, mathématicien et astronome, dirige l'observatoire d'Ujjain et rédige son traité Bijaganita, qui contient la première tentative de résolution de la division par zéro, et précise qu'il s'agit d'une quantité infinie. Il est célèbre en tant qu'auteur de trois traités : Lilavati, Bijaganita et Siddhantasiromani^[16].

Transmission au Moyen-Orient et en Chine

Ce sont les voyageurs et les contacts commerciaux qui sont responsables de la diffusion des connaissances mathématiques indiennes en Asie. Les rares sources sur l'astronomie et l'astrologie iraniennes préislamiques montrent que ces disciplines ont été fortement influencées par des traités écrits en sanskrit. D'autre part, le très érudit évêque syrien Sévère Sebôkht (575-667) joue un rôle important dans l'assimilation de concepts mathématiques indiens. En 662, il mentionne leurs différentes méthodes de calcul : « Je ne parlerai pas de la science des Hindous, un peuple distinct des Syriens, ni de leurs subtiles découvertes en astronomie [...], ni de leurs inestimables méthodes de calcul, ni de leurs calculs, qui dépassent toute description »^[17].

En ce qui concerne la Chine, trois importantes familles d'astronomes indiens s'y sont établies au cours de la dynastie Tang. Gautama Siddha appartient à l'un de ces lignages. Il a même dirigé le bureau astronomique de Chang'an, capitale de la dynastie. Il a donné les symboles pour les nombres de un à neuf, ainsi que le zéro. Il a introduit la division du cercle en 360 degrés (le système chinois en comptait 365, voire plus), tout comme la détermination de la parallaxe pour le calcul des éclipses solaires. Il a donné aussi les algorithmes pour élaborer le calendrier et prédire les éclipses lunaires et solaires^[18].

Transmission au monde islamique

La Relation de la Chine et de l'Inde par un marchand arabe ou iranien de Siraf, qui s'est rendu en Chine au ix^e siècle, témoigne vers 850 que « Les Chinois [...] ont des notions d'astronomie, mais dans ce domaine ils sont surpassés par les Indiens »^[19]. L'historien al-Biruni (973-1048)^{[n 8]} dans son livre Kitab Tariq al-Hind (Histoire de l'Inde) affirme que le calife Abbasside al-Ma'mun a une ambassade en Inde et fait venir à Bagdad un livre dont le titre en arabe a été traduit par Sindhind. Il est en général reconnu que Sindhind est le Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta^[21]. Dans son Tarikh al-Hukama (Histoire des érudits), qui, bien que datant du XII^e siècle, cite des sources bien plus anciennes, l'historien Ibn al Qifti (1172-1248) écrit : « ...une personne venue d'Inde se présente devant le calife al-Mansur, il est expert dans la méthode de calcul siddhanta du mouvement des objets célestes, et peut résoudre des équations avec les demi-cordes [les sinus] calculées en demi-degrés ... ». Al-Mansur ordonne que ce traité soit traduit en arabe. L'historien Georges Ifrah pense que le traité en question doit être le Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta. Kanaka, un astronome indien, fait partie de la tradition bibliographique arabe sous le nom de Kanak al-Hindi. On dit qu'il fait partie de l'ambassade envoyée de Sind à Bagdad pour préparer le Zij al-Sindhind (la traduction du Brahmasphutasiddhanta)^[22].

L'arrivée des chiffres indo-arabes en Europe

La graphie des chiffres modernes et le système décimal positionnel sont nés en Inde. Leur origine remonte aux chiffres brahmi, apparus entre les III^e et IV^e siècles. Au cours d'un périple de plusieurs siècles, les chiffres sont passés, en évoluant, par les territoires musulmans et atteignent le Moyen-Orient et la Méditerranée, puis finissent par arriver en Afrique du Nord, puis en Al-Andalus^{[n 9]}. Au XI^e siècle et XII^e siècle, ces chiffres sont aussi présentés en Europe chrétienne à plusieurs reprises^[24]. Le marchand et mathématicien italien Léonard de Pise (Fibonacci), écrit en 1202 dans son traité Liber abaci : « À Bougie, je fus introduit à l'art des neuf symboles des Indiens [...]Très rapidement, la connaissance de cet art me passionna et je finis par le maîtriser »^[25]. Ils ne se généraliseront en Europe qu'au XV^e siècle avec l'usage de l'imprimerie.

Notes et références

Notes

↑ Le suffixe « gupta » de son nom indique que sa famille appartient à la troisième caste de la Société, celle des commerçants et des agriculteurs^[1]
↑ À Ujjain, il aurait accès aux écrits de mathématiciens et savants grecs, comme Héron d'Alexandrie, Ptolémée et Diophante^[1]
↑ Parmi les écoles (paksa) existant au temps de Brahmagupta, il faut mentionner les écoles Aryapaksa, Ardharatrikapaksa et Brahmapaksa^[3]
↑ Certains spécialistes pensent que Brahmagupta a vécu, étudié et enseigné à Ujjain, puisque c'est là qu'il a exercé ses talents^[1]
↑ Comme son nom l'indique, le Brahmasphutasiddhanta est un siddhanta, c'est-à-dire un traité d'astronomie^[7]
↑ Le Khandakhadyaka est un karana, c'est-à-dire un manuel^[7]
↑ Siddhanta corrigé de Brahma^[12]
↑ al-Biruni est un mathématicien, astronome, philosophe, explorateur, historien et pharmacien perse, qui fut l'un des grands savants du monde islamique^[20]
↑ Un document atteste la présence de chiffres indo-arabes en Europe. Il s'agit du Codex Vigilianus, qui est conservé au monastère de San Martin de Albeda, à La Rioja (Espagne). ce manuscrit fut copié par un moine en 976. On y voit les chiffres indo-arabes de 1 à 9^[23]

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Brahmagupta » (voir la liste des auteurs).

↑ ^{a b et c} Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 56
↑ (en) Shashi S. Sharma, Mathematics & Astronomers of Ancient India, Pitambar Publishing (lire en ligne) :
« He was born in bhillamala. In ancient times it was the seat of power of the Gurjars...Jisnu Gupta.. »
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 120
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 13/40/55-56.
↑ ^{a b c et d} (en) Kim Plofker, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : A Sourcebook, PUP, 2007, 685 p. (ISBN 978-0-691-11485-9, présentation en ligne), p. 418-419 :
« The Paitamahasiddhanta also directly inspired another major siddhanta, written by a contemporary of Bhaskara: The Brahmasphutasiddhanta (Corrected Treatise of Brahma) completed by Brahmagupta in 628. This astronomer was born in 598 and apparently worked in Bhillamal (identified with modern Bhinmal in Rajasthan), during the reign (and possibly under the patronage) of King Vyaghramukha.
Although we do not know whether Brahmagupta encountered the work of his contemporary Bhaskara, he was certainly aware of the writings of other members of the tradition of the Aryabhatiya, about which he has nothing good to say. This is almost the first trace we possess of the division of Indian astronomer-mathematicians into rival, sometimes antagonistic "schools." [...] it was in the application of mathematical models to the physical world - in this case, the choices of astronomical parameters and theories - that disagreements arose. [...]
Such critiques of rival works appear occasionally throughout the first ten astronomical chapters of the Brahmasphutasiddhanta, and its eleventh chapter is entirely devoted to them. But they do not enter into the mathematical chapters that Brahmagupta devotes respectively to ganita (chapter 12) and the pulverizer (chapter 18). This division of mathematical subjects reflects a different twofold classification from Bhaskara's "mathematics of fields" and "mathematics of quantities." Instead, the first is concerned with arithmetic operations beginning with addition, proportion, interest, series, formulas for finding lengths, areas, and volumes in geometrical figures, and various procedures with fractions - in short, diverse rules for computing with known quantities. The second, on the other hand, deals with what Brahmagupta calls "the pulverizer, zero, negatives, positives, unknowns, elimination of the middle term, reduction to one [variable], bhavita [the product of two unknowns], and the nature of squares [second-degree indeterminate equations]" - that is, techniques for operating with unknown quantities. This distinction is more explicitly presented in later works as mathematics of the "manifest" and "unmanifest," respectively: i.e., what we will henceforth call "arithmetic" manipulations of known quantities and "algebraic" manipulation of so-called "seeds" or unknown quantities. The former, of course, may include geometric problems and other topics not covered by the modern definition of "arithmetic." (Like Aryabhata, Brahmagupta relegates his sine-table to an astronomical chapter where the computations require it, instead of lumping it in with other "mathematical" topics.) »
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 58.
↑ ^{a et b} Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 61
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 56/58.
↑ ^{a b et c} Plofker 2007, p. 428-434
↑ ^{a et b} Boyer 1991, chap. 12 (« China and India »), p. 221 :
« he was the first one to give a general solution of the linear Diophantine equation ax + by = c, where a, b, and c are integers. […] It is greatly to the credit of Brahmagupta that he gave all integral solutions of the linear Diophantine equation, whereas Diophantus himself had been satisfied to give one particular solution of an indeterminate equation. Inasmuch as Brahmagupta used some of the same examples as Diophantus, we see again the likelihood of Greek influence in India - or the possibility that they both made use of a common source, possibly from Babylonia. It is interesting to note also that the algebra of Brahmagupta, like that of Diophantus, was syncopated. Addition was indicated by juxtaposition, subtraction by placing a dot over the subtrahend, and division by placing the divisor below the dividend, as in our fractional notation but without the bar. The operations of multiplication and evolution (the taking of roots), as well as unknown quantities, were represented by abbreviations of appropriate words. »
↑ Johnson, Roger A. (Roger Arthur), Advanced Euclidean geometry, Dover Publications, 2007, 319 p. (ISBN 978-0-486-46237-0 et 0486462374, OCLC 86110095, lire en ligne)
↑ ^{a et b} Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 121
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 122/127.
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 127-128.
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 131-132.
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 136/138.
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 144.
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 144-145.
↑ Traduction de Reinaud, 1845, t. 1, p. 58 lire en ligne.
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 148
↑ (en) Carl Benjamin Boyer, A History of Mathematics, 1991, chap. 13 (« The Arabic Hegemony »), p. 226 :
« By 766 we learn that an astronomical-mathematical work, known to the Arabs as the Sindhind, was brought to Baghdad from India. It is generally thought that this was the Brahmasphuta Siddhanta, although it may have been the Surya Siddhanata. A few years later, perhaps about 775, this Siddhanata was translated into Arabic, and it was not long afterwards (ca. 780) that Ptolemy's astrological Tetrabiblos »
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 146-148.
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 153
↑ (it) Nadia Ambrosetti, L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale, Milan, LED, 2008 (ISBN 978-88-7916-388-0, lire en ligne), p. 98, 197-213
↑ Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 152-153.

Voir aussi

Bibliographie

: document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

Iolanda Guevara Casanova, Carles Puig Pla et Abel Gerschenfeld (Trad.), L'algèbre des étoiles : Brahmagupta, Barcelone, RBA Coleccionables, 2018, 159 p. (ISBN 978-84-473-9719-8).

Articles connexes

Liens externes

(en) John J. O'Connor et Edmund F. Robertson, « Brahmagupta », sur MacTutor, université de St Andrews.
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[2] Le suffixe « gupta » de son nom indique que sa famille appartient à la troisième caste de la Société, celle des commerçants et des agriculteurs^[1]

[4] À Ujjain, il aurait accès aux écrits de mathématiciens et savants grecs, comme Héron d'Alexandrie, Ptolémée et Diophante^[1]

[6] Parmi les écoles (paksa) existant au temps de Brahmagupta, il faut mentionner les écoles Aryapaksa, Ardharatrikapaksa et Brahmapaksa^[3]

[9] Certains spécialistes pensent que Brahmagupta a vécu, étudié et enseigné à Ujjain, puisque c'est là qu'il a exercé ses talents^[1]

[12] Comme son nom l'indique, le Brahmasphutasiddhanta est un siddhanta, c'est-à-dire un traité d'astronomie^[7]

[13] Le Khandakhadyaka est un karana, c'est-à-dire un manuel^[7]

[19] Siddhanta corrigé de Brahma^[12]

[28] -Biruni est un mathématicien, astronome, philosophe, explorateur, historien et pharmacien perse, qui fut l'un des grands savants du monde islamique^[20]

[32] Un document atteste la présence de chiffres indo-arabes en Europe. Il s'agit du Codex Vigilianus, qui est conservé au monastère de San Martin de Albeda, à La Rioja (Espagne). ce manuscrit fut copié par un moine en 976. On y voit les chiffres indo-arabes de 1 à 9^[23]

[p56-1] {a b et c} Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 56

[ShashiSSharma-3] (en) Shashi S. Sharma, Mathematics & Astronomers of Ancient India, Pitambar Publishing (lire en ligne) :
« He was born in bhillamala. In ancient times it was the seat of power of the Gurjars...Jisnu Gupta.. »

[5] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 120

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld201813/40/55-56-7] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 13/40/55-56.

[Plofker_418-419-8] {a b c et d} (en) Kim Plofker, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : A Sourcebook, PUP, 2007, 685 p. (ISBN 978-0-691-11485-9, présentation en ligne), p. 418-419 :
« The Paitamahasiddhanta also directly inspired another major siddhanta, written by a contemporary of Bhaskara: The Brahmasphutasiddhanta (Corrected Treatise of Brahma) completed by Brahmagupta in 628. This astronomer was born in 598 and apparently worked in Bhillamal (identified with modern Bhinmal in Rajasthan), during the reign (and possibly under the patronage) of King Vyaghramukha.
Although we do not know whether Brahmagupta encountered the work of his contemporary Bhaskara, he was certainly aware of the writings of other members of the tradition of the Aryabhatiya, about which he has nothing good to say. This is almost the first trace we possess of the division of Indian astronomer-mathematicians into rival, sometimes antagonistic "schools." [...] it was in the application of mathematical models to the physical world - in this case, the choices of astronomical parameters and theories - that disagreements arose. [...]
Such critiques of rival works appear occasionally throughout the first ten astronomical chapters of the Brahmasphutasiddhanta, and its eleventh chapter is entirely devoted to them. But they do not enter into the mathematical chapters that Brahmagupta devotes respectively to ganita (chapter 12) and the pulverizer (chapter 18). This division of mathematical subjects reflects a different twofold classification from Bhaskara's "mathematics of fields" and "mathematics of quantities." Instead, the first is concerned with arithmetic operations beginning with addition, proportion, interest, series, formulas for finding lengths, areas, and volumes in geometrical figures, and various procedures with fractions - in short, diverse rules for computing with known quantities. The second, on the other hand, deals with what Brahmagupta calls "the pulverizer, zero, negatives, positives, unknowns, elimination of the middle term, reduction to one [variable], bhavita [the product of two unknowns], and the nature of squares [second-degree indeterminate equations]" - that is, techniques for operating with unknown quantities. This distinction is more explicitly presented in later works as mathematics of the "manifest" and "unmanifest," respectively: i.e., what we will henceforth call "arithmetic" manipulations of known quantities and "algebraic" manipulation of so-called "seeds" or unknown quantities. The former, of course, may include geometric problems and other topics not covered by the modern definition of "arithmetic." (Like Aryabhata, Brahmagupta relegates his sine-table to an astronomical chapter where the computations require it, instead of lumping it in with other "mathematical" topics.) »

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld201858-10] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 58.

[p61-11] {a et b} Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 61

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld201856/58-14] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 56/58.

[Plofker_Chapter_18_Brahmasphutasiddhanta-15] {a b et c} Plofker 2007, p. 428-434

[Boyer_Brahmagupta_Indeterminate_equations-16] {a et b} Boyer 1991, chap. 12 (« China and India »), p. 221 :
« he was the first one to give a general solution of the linear Diophantine equation ax + by = c, where a, b, and c are integers. […] It is greatly to the credit of Brahmagupta that he gave all integral solutions of the linear Diophantine equation, whereas Diophantus himself had been satisfied to give one particular solution of an indeterminate equation. Inasmuch as Brahmagupta used some of the same examples as Diophantus, we see again the likelihood of Greek influence in India - or the possibility that they both made use of a common source, possibly from Babylonia. It is interesting to note also that the algebra of Brahmagupta, like that of Diophantus, was syncopated. Addition was indicated by juxtaposition, subtraction by placing a dot over the subtrahend, and division by placing the divisor below the dividend, as in our fractional notation but without the bar. The operations of multiplication and evolution (the taking of roots), as well as unknown quantities, were represented by abbreviations of appropriate words. »

[17] Johnson, Roger A. (Roger Arthur), Advanced Euclidean geometry, Dover Publications, 2007, 319 p. (ISBN 978-0-486-46237-0 et 0486462374, OCLC 86110095, lire en ligne)

[p121-18] {a et b} Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 121

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld2018122/127-20] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 122/127.

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld2018127-128-21] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 127-128.

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld2018131-132-22] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 131-132.

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld2018136/138-23] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 136/138.

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld2018144-24] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 144.

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld2018144-145-25] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 144-145.

[26] Traduction de Reinaud, 1845, t. 1, p. 58 lire en ligne.

[27] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 148

[Boyer_Siddhanta-29] (en) Carl Benjamin Boyer, A History of Mathematics, 1991, chap. 13 (« The Arabic Hegemony »), p. 226 :
« By 766 we learn that an astronomical-mathematical work, known to the Arabs as the Sindhind, was brought to Baghdad from India. It is generally thought that this was the Brahmasphuta Siddhanta, although it may have been the Surya Siddhanata. A few years later, perhaps about 775, this Siddhanata was translated into Arabic, and it was not long afterwards (ca. 780) that Ptolemy's astrological Tetrabiblos »

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld2018146-148-30] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 146-148.

[31] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 153

[33] (it) Nadia Ambrosetti, L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale, Milan, LED, 2008 (ISBN 978-88-7916-388-0, lire en ligne), p. 98, 197-213

[Guevara_Casanova_+_Puig_PlaGerschenfeld2018152-153-34] Guevara Casanova + Puig Pla et Gerschenfeld 2018, p. 152-153.

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